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Séance de cours

Préliminaires en théorie des mesures

Dans cours

MATH-476: Optimal transport

The first part is devoted to Monge and Kantorovitch problems, discussing the existence and the properties of the optimal plan. The second part introduces the Wasserstein distance on measures and develops applications of optimal transport to PDEs, functiona ...

Description

Cette séance de cours couvre les préliminaires de la théorie des mesures, y compris des concepts tels que loc comp, séparable, espace métrique complet, fonctions continues et fonctions supportées de manière compacte. L'instructeur discute des propriétés des ensembles compacts, de la convergence et de la notion d'étanchéité dans le contexte de la théorie des mesures.

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Regarder sur Mediaspace

Enseignant·e·s (2)

Maria Colombo

Xavier Fernandez-Real Girona

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Topologie: General topology

Analyse (mathématiques): Analyse fonctionnelle (mathématiques)

Concepts associés (32)

Compacité (mathématiques)

En topologie, on dit d'un espace qu'il est compact s'il est séparé et qu'il vérifie la propriété de Borel-Lebesgue. La condition de séparation est parfois omise et certains résultats demeurent vrais, comme le théorème des bornes généralisé ou le théorème de Tychonov. La compacité permet de faire passer certaines propriétés du local au global, c'est-à-dire qu'une propriété vraie au voisinage de chaque point devient valable de façon uniforme sur tout le compact.

Espace localement compact

En topologie, un espace localement compact est un espace séparé qui admet des voisinages compacts pour tous ses points. Un tel espace n'est pas nécessairement compact lui-même mais on peut y généraliser (au moins partiellement) beaucoup de résultats sur les espaces compacts. Ce sont aussi les espaces qu'on peut « rendre » compacts avec un point grâce à la compactification d'Alexandrov. La compacité est une source très fertile de résultats en topologie mais elle reste une propriété très contraignante.

Espace σ-compact

En mathématiques, un espace topologique est dit σ-compact (ou localement compact dénombrable à l'infini) s'il est l'union dénombrable de sous-espaces compacts. Un espace est dit σ-localement compact s'il est à la fois σ-compact et localement compact. Tout espace compact est σ-compact, et tout espace σ-compact est de Lindelöf (c'est-à-dire que tout recouvrement ouvert a un sous-recouvrement dénombrable).

Continuous function

In mathematics, a continuous function is a function such that a continuous variation (that is a change without jump) of the argument induces a continuous variation of the value of the function. This means that there are no abrupt changes in value, known as discontinuities. More precisely, a function is continuous if arbitrarily small changes in its value can be assured by restricting to sufficiently small changes of its argument. A discontinuous function is a function that is .

Espace de Banach

En mathématiques, plus particulièrement en analyse fonctionnelle, on appelle espace de Banach un espace vectoriel normé sur un sous-corps K de C (en général, K = R ou C), complet pour la distance issue de sa norme. Comme la topologie induite par sa distance est compatible avec sa structure d’espace vectoriel, c’est un espace vectoriel topologique. Les espaces de Banach possèdent de nombreuses propriétés qui font d'eux un outil essentiel pour l'analyse fonctionnelle. Ils doivent leur nom au mathématicien polonais Stefan Banach.

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Séances de cours associées (55)

Formes harmoniques : théorème principal

Explore les formes harmoniques sur les surfaces de Riemann et l'unicité des solutions aux équations harmoniques.

Intégration de formes différentielles

Couvre l'intégration de formes différentielles sur des variétés lisses, y compris les concepts de formes fermées et exactes.

Convergence des probabilités

Explore la convergence des probabilités, discutant des conditions de convergence des séquences variables aléatoires et de l'unicité de la convergence.

Propriétés des espaces complets

Couvre les propriétés des espaces complets, y compris l'exhaustivité, les attentes, les incorporations, les sous-ensembles, les normes, l'inégalité de Holder et l'intégrabilité uniforme.

Théorème Pierre-Wierstrass

Explore le théorème Stone-Wierstrass, démontrant une densité uniforme de familles de fonctions spécifiques sur des ensembles compacts.

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Concepts associés (32)

Compacité (mathématiques)

Espace localement compact