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Polyconvexité

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Dans cours

MATH-437: Calculus of variations

Introduction to classical Calculus of Variations and a selection of modern techniques. The Calculus of Variations aims at showing the existence of minimisers (or critical points) of functionals that naturally appear in mathematics and physics (Dirichlet en ...

Description

Cette séance de cours couvre le concept de polyconvexité dans le contexte du calcul vectoriel, en se concentrant sur les ensembles délimités ouverts avec les limites de Lipschitz. L'instructeur explique les conditions de la polyconvexité et fournit des exemples et des exercices pour illustrer le concept. La séance de cours se penche également sur les théorèmes de continuité faibles liés aux déterminants et aux résultats de Morrey-Reshetnyak. Le contenu progresse pour discuter de la minimisation des séquences dans les espaces de fonctions et de la faible semi-continuité inférieure de certaines fonctions, en mettant laccent sur lapplication de ces concepts dans le contexte des hypothèses de convexité.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Analyse (mathématiques): Analyse fonctionnelle (mathématiques)

Concepts associés (31)

Espace fonctionnel

En mathématiques, un espace fonctionnel est un ensemble d'applications d'une certaine forme d'un ensemble vers un ensemble Il est appelé « espace » car, selon les cas, il peut être un espace topologique, un espace vectoriel, ou les deux. Les espaces fonctionnels apparaissent dans différents domaines des mathématiques : en théorie des ensembles, l'ensemble des parties d'un ensemble peut être identifié avec l'ensemble des fonctions de à valeurs dans , noté .

Espace de Schwartz

vignette|Une fonction gaussienne bidimensionnelle est un exemple de fonction à décroissance rapide. En analyse mathématique, l'espace de Schwartz est l'espace des fonctions déclinantes (c'est-à-dire des fonctions indéfiniment dérivables à décroissance rapide, ainsi que leurs dérivées de tous ordres). Le dual de cet espace est l'espace des distributions tempérées. Les espaces et jouent un rôle essentiel dans la théorie de la transformée de Fourier.

Carré sommable

En mathématiques, une fonction définie sur un espace mesuré Ω et à valeurs dans R ou C est dite de carré sommable ou de carré intégrable si elle appartient à l’espace L(Ω) des fonctions dont l'intégrale du carré (du module dans le cas des nombres complexes) converge sur Ω. Par exemple, une fonction mesurable de R dans C est de carré sommable lorsque l’intégrale suivante (au sens de Lebesgue) converge, c'est-à-dire si elle existe et correspond ainsi à un nombre fini.

Analyse vectorielle

L'analyse vectorielle est une branche des mathématiques qui étudie les champs de scalaires et de vecteurs suffisamment réguliers des espaces euclidiens, c'est-à-dire les applications différentiables d'un ouvert d'un espace euclidien à valeurs respectivement dans et dans . Du point de vue du mathématicien, l'analyse vectorielle est donc une branche de la géométrie différentielle. Cette dernière inclut l'analyse tensorielle qui apporte des outils plus puissants et une analyse plus concise entre autres des champs de vecteurs.

Espace de Hardy

Les espaces de Hardy, dans le domaine mathématique de l'analyse fonctionnelle, sont des espaces de fonctions analytiques sur le disque unité D du plan complexe. Soit f une fonction holomorphe sur D, on sait que f admet un développement en série de Taylor en 0 sur le disque unité : On dit alors que f est dans l'espace de Hardy H(D) si la suite appartient à l. Autrement dit, on a : On définit alors la norme de f par : La fonction appartient à H(D), par convergence de la série (série de Riemann convergente).

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Séances de cours associées (64)

Espaces de distribution et d'interpolation

Explore les espaces de distribution et d'interpolation, en montrant leur importance dans l'analyse mathématique et les calculs impliqués.

Distributions et dérivés

Couvre les distributions, les dérivés, la convergence et les critères de continuité dans les espaces de fonctions.

Intégration dans les espaces de fonctions

Explore l'intégration dans les espaces de fonctions, y compris les équations elliptiques, l'inégalité de Hlder, l'espace de Lorentz et l'inégalité de Hardy-Young.

Dérivés faibles: définition et propriétés

Couvre les dérivés faibles, leurs propriétés et leurs applications en analyse fonctionnelle.

Calcul des variations : états du sol en mécanique quantique

Couvre le calcul des variations pour trouver des états fondamentaux en mécanique quantique en minimisant l'énergie, en discutant de l'équation d'Euler Lagrange et du théorème fondamental de la théorie des jeunes mesures.

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