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Espaces fonctionnels et espaces de Hilbert

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Dans cours

PHYS-216: Méthodes mathématiques (pour SPH)

Ce cours est un complément aux cours d'analyse et d'algèbre linéaire qui apporte des méthodes et des techniques mathématiques supplémentaires requises pour les cours de physique de 3e année, notamment l'électrodynamique et la mécanique quantique. ...

Description

Cette séance de cours couvre les concepts d'espaces de fonctions et d'espaces de Hilbert, en commençant par la définition des espaces de fonctions en tant qu'espaces vectoriels au-dessus de C, dont les éléments sont des fonctions. Il introduit ensuite la structure des espaces de produits intérieurs, en se concentrant sur les propriétés des produits scalaires. La séance de cours traite également de l'importance de l'exhaustivité dans les espaces de Hilbert, où toutes les séquences de Cauchy convergent. Des exemples d'espaces produits internes, tels que l'espace Coordinate et l'ensemble des séquences sommables carrées infinies, sont présentés. La séance de cours conclut en soulignant que les espaces produits internes de dimension finie sont des espaces de Hilbert, et que la plupart des propriétés des espaces de dimension finie peuvent être étendues à des espaces de Hilbert de dimension infinie.

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Enseignant·e·s (3)

Stephan Brunner

Enseignement et PhD Doctorant·es actuel·les Hugo Jean Elie Chkroun, Nicole Vadot, Oraz Anuaruly, Haomin Sun, Isabel Muzio, Fabien Nicolas Jeanquartier A dirigé les thèses EPFL de Ajay Chandrarajan Jayalekshmi, Arnas Volcokas A co-dirigé les thèses EPFL de Xavier Lapillonne, Thibaut Vernay, Julien Stanislas Pierre Dominski, Gabriele Merlo, Emmanuel Lanti, Noé Ohana, Moahan Murugappan Cours Plasma instabilities PHYS-736 To complete the theoretical knowledge acquired before the graduate studi

Sylvain Bréchet

Sylvain Bréchet est né le 13 octobre 1981 à Moudon (lieu d'origine Epesses, VD). Il a obtenu un Master de physique à l'EPFL en 2005. Il est allé à Cambridge pour y effectuer une thèse en cosmologie théorique de 2005 à 2009 sous la direction du Prof. Anthony Lasenby (FRS) et du Prof. Michael Hobson au Cavendish Laboratory de l'Université de Cambridge. Il est revenu à l'EPFL où il est depuis 2010 chargé de cours et collaborateur scientifique à l'institut de physique de la matière condensée. Il a enseigné la mécanique classique, la relativité restreinte et la thermodynamique à des étudiants en génie mécanique, en génie électrique et en physique. Il rédige actuellement un ouvrage de thermodynamique.

Jonathan Graves

Prof. Jonathan P. Graves is a Senior Scientist at EPFL and Honorary Visiting Professor at the University of York, UK. He achieved first class joint honours in Electronic Engineering and Mathematics from the University of Nottingham, UK in 1996. He completed his Ph.D. in Theoretical Mechanics from the University of Nottingham, UK, three years later in 1999. During his Ph.D. he was based in the Culham theory group of the United Kingdom Atomic Energy Authority, developing kinetic descriptions of the internal kink instability, and participating in deuterium-tritium experimental analysis in the Joint European Torus. After a short time in industry, and a postdoc at Nottingham University, he took a position at the Swiss Plasma Center at EPFL, becoming a Senior Scientist in 2014, and became an Honorary Visiting Professor at the University of York, UK, in 2020. In 2015 he became a member of the EUROfusion Scientific and Technical Advisory Committee (STAC) and a member of the EUROfusion DEMO Technical Advisory Group. He is on the editorial board for the journal Plasma Physics and Controlled Fusion, and in 2020 became Scientific Secretary of the Varenna-Lausanne International Workshop in Theory of Fusion Plasmas.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Analyse (mathématiques): Analyse fonctionnelle (mathématiques)

Algèbre: Algèbre linéaire

Concepts associés (32)

Dimension d'un espace vectoriel

vignette|espace à zéro dimension. En algèbre linéaire, la dimension de Hamel ou simplement la dimension est un invariant associé à tout espace vectoriel E sur un corps K. La dimension de E est le cardinal commun à toutes ses bases. Ce nombre est noté dimK(E) (lire « dimension de E sur K ») ou dim(E) (s'il n'y a aucune confusion sur le corps K des scalaires). Si E admet une partie génératrice finie, alors sa dimension est finie et elle vaut le nombre de vecteurs constituant une base de E.

Produit scalaire

En mathématiques, et plus précisément en algèbre et en géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois s'appliquant aux vecteurs. C'est une forme bilinéaire, symétrique, définie positive. À deux vecteurs, elle associe un scalaire, c'est-à-dire un nombre tel que ceux qui définissent cet espace vectoriel — réel pour un espace vectoriel réel. Si et sont deux vecteurs d'un espace vectoriel E sur le corps R des nombres réels, alors le produit scalaire de u par v est un scalaire (c'est-à-dire un élément de R), noté ∙ , , , ou .

Espace vectoriel topologique

En mathématiques, les espaces vectoriels topologiques sont une des structures de base de l'analyse fonctionnelle. Ce sont des espaces munis d'une structure topologique associée à une structure d'espace vectoriel, avec des relations de compatibilité entre les deux structures. Les exemples les plus simples d'espaces vectoriels topologiques sont les espaces vectoriels normés, parmi lesquels figurent les espaces de Banach, en particulier les espaces de Hilbert. Un espace vectoriel topologique (« e.v.t.

Base orthonormée

En géométrie vectorielle, une base orthonormale ou base orthonormée (BON) d'un espace euclidien ou hermitien est une base de cet espace vectoriel constituée de vecteurs de norme 1 et orthogonaux deux à deux. Dans une telle base, les coordonnées d'un vecteur quelconque de l'espace sont égales aux produits scalaires respectifs de ce vecteur par chacun des vecteurs de base, et le produit scalaire de deux vecteurs quelconques a une expression canonique en fonction de leurs coordonnées.

Espace vectoriel normé

Un espace vectoriel normé (EVN) est un espace vectoriel muni d'une norme. Cette structure mathématique développe des propriétés géométriques de distance compatible avec les opérations de l'algèbre linéaire. Développée notamment par David Hilbert et Stefan Banach, cette notion est fondamentale en analyse et plus particulièrement en analyse fonctionnelle, avec l'utilisation d'espaces de Banach tels que les espaces L. Norme (mathématiques) Soit K un corps commutatif muni d'une valeur absolue, et non discret (par exemple le corps des réels ou des complexes).

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Séances de cours associées (64)

Espaces Normés

Couvre les espaces normés, les espaces doubles, les espaces de Banach, les espaces de Hilbert, la convergence faible et forte, les espaces réflexifs et le théorème de Hahn-Banach.

Représentations du signal

Couvre la représentation des signaux dans les espaces vectoriels et les espaces produits internes, y compris le théorème de projection.

Orthogonalité et produit scalaire

Explore l'orthogonalité, le produit scalaire et les bases orthonormales dans les espaces vectoriels.

Calcul vectorielle en 3D

Couvre le concept d'espace vectoriel 3D, produit scalaire, bases, orthogonalité et projections.

Espaces vectoriels et produits scalaires

Couvre les espaces vectoriels, les produits scalaires, les normes et les formes de polarisation dans les propriétés standard.

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