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Séance de cours

Application à la récurrence des séquences définies

Description

Cette séance de cours couvre l'application de fonctions définies par récurrence aux séquences. Il explique le concept d'une fonction admettant un point fixe, où la valeur de la fonction est égale à l'entrée. La séance de cours introduit également le théorème du point fixe, indiquant que toute fonction continue sur un intervalle fermé a un point fixe.

Dans MOOCs (2)

Analyse I

Analyse I (partie 5) : Fonctions continues et fonctions dérivables, la fonction dérivée

Source officielle

Quiz

Proximité ontologique

Mathématiques

Analyse (mathématiques): Équation différentielle

Concepts associés (25)

Fixed-point iteration

In numerical analysis, fixed-point iteration is a method of computing fixed points of a function. More specifically, given a function defined on the real numbers with real values and given a point in the domain of , the fixed-point iteration is which gives rise to the sequence of iterated function applications which is hoped to converge to a point . If is continuous, then one can prove that the obtained is a fixed point of , i.e., More generally, the function can be defined on any metric space with values in that same space.

Liste de théorèmes du point fixe

En analyse, un théorème du point fixe donne des conditions suffisantes d’existence d’un point fixe pour une fonction ou une famille de fonctions. Plus précisément, étant donné un ensemble E et une famille de fonctions f définies sur E et à valeurs dans E, ces théorèmes permettent de justifier qu’il existe un élément x de E tel que pour toutes les fonctions considérées on ait . Certains de ces théorèmes fournissent même un processus itératif permettant d’approcher un tel point fixe.

Théorème du point fixe de Kakutani

vignette|Exemple animé montrant des points x, et leurs images φ(x) par la fonction φ. L'animation finit par montrer un point x contenu dans φ(x). En analyse mathématique, le théorème du point fixe de Kakutani est un théorème de point fixe qui généralise celui de Brouwer à des fonctions à valeurs ensemblistes. Il fournit une condition suffisante pour qu'une telle fonction, définie sur un compact convexe d'un espace euclidien, possède un point fixe, c'est-à-dire dans ce contexte : un point qui appartient à son par cette fonction.

Point fixe

En mathématiques, pour une application f d'un ensemble E dans lui-même, un élément x de E est un point fixe de f si f(x) = x. Exemples : dans le plan, la symétrie par rapport à un point A admet un unique point fixe : A ; l'application inverse (définie sur l'ensemble des réels non nuls) admet deux points fixes : –1 et 1, solutions de l'équation équivalente à l'équation . Graphiquement, les points fixes d'une fonction f (d'une variable réelle, à valeurs réelles) sont les points d'intersection de la droite d'équation y = x avec la courbe d'équation y = f(x).

Fonction trigonométrique

thumb|upright=1.35|Toutes les valeurs des fonctions trigonométriques d'un angle θ peuvent être représentées géométriquement. En mathématiques, les fonctions trigonométriques permettent de relier les longueurs des côtés d'un triangle en fonction de la mesure des angles aux sommets. Plus généralement, ces fonctions sont importantes pour étudier les triangles et les polygones, les cercles (on les appelle alors fonctions circulaires) et modéliser des phénomènes périodiques.

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Séances de cours associées (51)

Équations non linéaires : Convergence de la méthode des points fixes

Couvre la convergence des méthodes de points fixes pour les équations non linéaires, y compris les théorèmes de convergence globale et locale et lordre de convergence.

Théorème des points fixes

Explore les théorèmes à points fixes, les séquences récurrentes et les propriétés de convergence, en mettant l'accent sur la signification des points fixes dans l'analyse.

Continuité et points fixes : comprendre les fonctions

Explore la continuité, les points fixes et les fonctions bijectives dans les graphiques.

Orbite d'un ensemble G

Explore les orbites dans un ensemble G, les fonctions de points fixes, et G-équivariance.

Limites et continuité

Couvre les limites, la continuité et le théorème de valeur intermédiaire dans les fonctions.

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Concepts associés (25)

Fixed-point iteration

Liste de théorèmes du point fixe

Théorème du point fixe de Kakutani

Point fixe

Fonction trigonométrique

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