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Continuité des fonctions : définitions et notations

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Dans cours

MATH-105(b): Analyse avancée II

Étudier les concepts fondamentaux d'analyse et le calcul différentiel et intégral des fonctions réelles de plusieurs variables. ...

Description

Cette séance de cours revisite le concept de séquences dans R2 et R3, les définissant comme une séquence de points dans R2 ou R3. Il explore la notation des séquences et discute de la convergence des séquences dans R2 et R3. La séance de cours couvre également la définition d'une séquence convergente dans R2 et R3, soulignant l'importance des points d'accumulation et des limites. En outre, il se penche sur la continuité des fonctions dans R2 et R3, expliquant le concept de points d'accumulation et la notation utilisée pour les séquences. La séance de cours se termine par une explication détaillée de la continuité des fonctions dans R2 et R3, soulignant l'importance des points d'accumulation et des limites.

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Concepts associés (32)

Suite (mathématiques)

vignette|Exemple de suite : les points bleus représentent ses termes. En mathématiques, une suite est une famille d'éléments — appelés ses « termes » — indexée par les entiers naturels. Une suite finie est une famille indexée par les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à un certain entier, ce dernier étant appelé « longueur » de la suite. Lorsque tous les éléments d'une suite (infinie) appartiennent à un même ensemble , cette suite peut être assimilée à une application de dans .

Convergence uniforme

La convergence uniforme d'une suite de fonctions est une forme de convergence plus exigeante que la convergence simple. La convergence devient uniforme quand toutes les suites avancent vers leur limite respective avec une sorte de « mouvement d'ensemble ». Dans le cas de fonctions numériques d'une variable, la notion prend une forme d'« évidence » géométrique : le graphe de la fonction f se « rapproche » de celui de la limite. Soient X un ensemble, (Y, d) un espace métrique, et A un sous-ensemble de X.

Fonction elliptique de Jacobi

En mathématiques, les fonctions elliptiques de Jacobi sont des fonctions elliptiques d'une grande importance historique. Introduites par Carl Gustav Jakob Jacobi vers 1830, elles ont des applications directes, par exemple dans l'équation du pendule. Elles présentent aussi des analogies avec les fonctions trigonométriques, qui sont mises en valeur par le choix des notations sn et cn, qui rappellent sin et cos. Si les fonctions elliptiques thêta de Weierstrass semblent mieux adaptées aux considérations théoriques, les problèmes physiques pratiques font plus appel aux fonctions de Jacobi.

Fonction trigonométrique

thumb|upright=1.35|Toutes les valeurs des fonctions trigonométriques d'un angle θ peuvent être représentées géométriquement. En mathématiques, les fonctions trigonométriques permettent de relier les longueurs des côtés d'un triangle en fonction de la mesure des angles aux sommets. Plus généralement, ces fonctions sont importantes pour étudier les triangles et les polygones, les cercles (on les appelle alors fonctions circulaires) et modéliser des phénomènes périodiques.

Convergence simple

En mathématiques, la convergence simple ou ponctuelle est une notion de convergence dans un espace fonctionnel, c’est-à-dire dans un ensemble de fonctions entre deux espaces topologiques. C'est une définition peu exigeante : elle est plus facile à établir que d'autres formes de convergence, notamment la convergence uniforme. Le passage à la limite possède donc moins de propriétés : une suite de fonctions continues peut ainsi converger simplement vers une fonction qui ne l'est pas.

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Séances de cours associées (46)

Limite des fonctions : convergence et limite

Explore les limites, la convergence et la limite des fonctions et des séquences.

Espaces de distribution et d'interpolation

Explore les espaces de distribution et d'interpolation, en montrant leur importance dans l'analyse mathématique et les calculs impliqués.

Limite du quotient et périodicité

Explore la limite du quotient pour les séquences et la périodicité des fonctions.

Taylor Polynomials: Calcul des limites et des dérivés

Couvre le calcul des polynômes de Taylor et leurs applications dans les limites et les dérivées des fonctions de R2 à R.

Série Taylor: Convergence et applications

Explore la convergence des séries de Taylor et ses applications dans l'approximation des fonctions et la résolution de problèmes mathématiques.

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Fonction elliptique de Jacobi

Fonction trigonométrique

Convergence simple

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