Morphism of algebraic varietiesIn algebraic geometry, a morphism between algebraic varieties is a function between the varieties that is given locally by polynomials. It is also called a regular map. A morphism from an algebraic variety to the affine line is also called a regular function. A regular map whose inverse is also regular is called biregular, and the biregular maps are the isomorphisms of algebraic varieties.
Variété algébriqueUne variété algébrique est, de manière informelle, l'ensemble des racines communes d'un nombre fini de polynômes en plusieurs indéterminées. C'est l'objet d'étude de la géométrie algébrique. Les schémas sont des généralisations des variétés algébriques. Il y a deux points de vue (essentiellement équivalents) sur les variétés algébriques : elles peuvent être définies comme des schémas de type fini sur un corps (langage de Grothendieck), ou bien comme la restriction d'un tel schéma au sous-ensemble des points fermés.
Variété algébrique affineEn géométrie algébrique, une variété affine est un modèle local pour les variétés algébriques, c'est-à-dire que celles-ci sont obtenues par recollement de variétés affines. Grossièrement, une variété affine est un ensemble algébrique affine X avec une structure algébrique supplémentaire qui est la donnée de l'anneau des fonctions régulières sur chaque partie ouverte de X. Ensemble algébrique Le point de vue le plus simple pour décrire une variété algébrique affine est l'ensemble des solutions d'un système d'équations polynomiales à coefficients dans un corps commutatif K.
Variété projectiveEn géométrie algébrique, les variétés projectives forment une classe importante de variétés. Elles vérifient des propriétés de compacité et des propriétés de finitude. C'est l'objet central de la géométrie algébrique globale. Sur un corps algébriquement clos, les points d'une variété projective sont les points d'un ensemble algébrique projectif. On fixe un corps (commutatif) k. Algèbre homogène. Soit B le quotient de par un idéal homogène ( idéal engendré par des polynômes homogènes).
Function field of an algebraic varietyIn algebraic geometry, the function field of an algebraic variety V consists of objects which are interpreted as rational functions on V. In classical algebraic geometry they are ratios of polynomials; in complex algebraic geometry these are meromorphic functions and their higher-dimensional analogues; in modern algebraic geometry they are elements of some quotient ring's field of fractions. In complex algebraic geometry the objects of study are complex analytic varieties, on which we have a local notion of complex analysis, through which we may define meromorphic functions.
Complex algebraic varietyIn algebraic geometry, a complex algebraic variety is an algebraic variety (in the scheme sense or otherwise) over the field of complex numbers. Chow's theorem Chow's theorem states that a projective analytic variety; i.e., a closed analytic subvariety of the complex projective space is an algebraic variety; it is usually simply referred to as a projective variety. Not every complex analytic variety is algebraic, though.
Relation d'équivalenceEn mathématiques, une relation d'équivalence permet, dans un ensemble, de mettre en relation des éléments qui sont similaires par une certaine propriété. On pourra ainsi regrouper ces éléments par « paquets » d'éléments qui se ressemblent, définissant ainsi la notion de classe d'équivalence, pour enfin construire de nouveaux ensembles en « assimilant » les éléments similaires à un seul et même élément. On aboutit alors à la notion d'ensemble quotient. vignette|upright=1.5|Sur cet ensemble de huit exemplaires de livres, la relation « .
Anneau localEn mathématiques, et plus particulièrement en algèbre commutative, un anneau local est un anneau commutatif possédant un unique idéal maximal. En géométrie algébrique, les anneaux locaux représentent les fonctions définies au voisinage d'un point donné. Pour tout anneau A, les propriétés suivantes sont équivalentes : A est local ; ses éléments non inversibles forment un idéal (qui sera alors l'idéal maximal de A et coïncidera avec son radical de Jacobson) ; ses éléments non inversibles appartiennent à un même idéal propre ; pour tout élément a de A, soit a soit 1 – a est inversible ; pour tout élément a de A, soit a soit 1 – a est inversible à gauche ; il existe un idéal maximal M tel que pour tout élément a de M, 1 + a est inversible.
Singular point of an algebraic varietyIn the mathematical field of algebraic geometry, a singular point of an algebraic variety V is a point P that is 'special' (so, singular), in the geometric sense that at this point the tangent space at the variety may not be regularly defined. In case of varieties defined over the reals, this notion generalizes the notion of local non-flatness. A point of an algebraic variety which is not singular is said to be regular. An algebraic variety which has no singular point is said to be non-singular or smooth.
Quasi-projective varietyIn mathematics, a quasi-projective variety in algebraic geometry is a locally closed subset of a projective variety, i.e., the intersection inside some projective space of a Zariski-open and a Zariski-closed subset. A similar definition is used in scheme theory, where a quasi-projective scheme is a locally closed subscheme of some projective space. An affine space is a Zariski-open subset of a projective space, and since any closed affine subset can be expressed as an intersection of the projective completion and the affine space embedded in the projective space, this implies that any affine variety is quasiprojective.
Anneau local régulierEn mathématiques, les anneaux réguliers forment une classe d'anneaux très utile en géométrie algébrique. Ce sont des anneaux qui localement sont les plus proches possibles des anneaux de polynômes sur un corps. Soit un anneau local noethérien d'idéal maximal . Soit son espace tangent de Zariski qui est un espace vectoriel de dimension finie sur le corps résiduel . Cette dimension est minorée par la dimension de Krull de l'anneau . On dit que est régulier s'il y a égalité entre ces deux dimensions : Par le lemme de Nakayama, cela équivaut à dire que est engendré par éléments.
Corps des fractionsEn théorie des anneaux, le corps des fractions d'un anneau intègre A est le plus petit corps commutatif (à isomorphisme près) contenant A. Sa construction est une généralisation à un anneau de la construction du corps des rationnels à partir de l'anneau des entiers relatifs. Appliqué à un anneau de polynômes, il permet la construction de son corps des fractions rationnelles. Cette construction se généralise encore avec le procédé de localisation.
Toric varietyIn algebraic geometry, a toric variety or torus embedding is an algebraic variety containing an algebraic torus as an open dense subset, such that the action of the torus on itself extends to the whole variety. Some authors also require it to be normal. Toric varieties form an important and rich class of examples in algebraic geometry, which often provide a testing ground for theorems. The geometry of a toric variety is fully determined by the combinatorics of its associated fan, which often makes computations far more tractable.
Equivalence classIn mathematics, when the elements of some set have a notion of equivalence (formalized as an equivalence relation), then one may naturally split the set into equivalence classes. These equivalence classes are constructed so that elements and belong to the same equivalence class if, and only if, they are equivalent. Formally, given a set and an equivalence relation on the of an element in denoted by is the set of elements which are equivalent to It may be proven, from the defining properties of equivalence relations, that the equivalence classes form a partition of This partition—the set of equivalence classes—is sometimes called the quotient set or the quotient space of by and is denoted by .
Espace affineEn géométrie, la notion d'espace affine généralise la notion d'espace issue de la géométrie euclidienne en omettant les notions d'angle et de distance. Dans un espace affine, on peut parler d'alignement, de parallélisme, de barycentre. Sous la forme qui utilise des rapports de mesures algébriques, qui est une notion affine, le théorème de Thalès et le théorème de Ceva sont des exemples de théorèmes de géométrie affine plane réelle (c'est-à-dire n'utilisant que la structure d'espace affine du plan réel).
Variété complèteEn mathématiques, en particulier en géométrie algébrique, une variété algébrique complète est une variété algébrique X, telle que pour toute variété Y le morphisme de projection est une application fermée (c'est-à-dire qu'elle envoie les fermés sur des fermés). Cela peut être vu comme un analogue de la compacité en géométrie algébrique : en effet, un espace topologique X est compact si et seulement si l'application de projection ci-dessus est fermée par rapport aux produits topologiques.
Congruence relationIn abstract algebra, a congruence relation (or simply congruence) is an equivalence relation on an algebraic structure (such as a group, ring, or vector space) that is compatible with the structure in the sense that algebraic operations done with equivalent elements will yield equivalent elements. Every congruence relation has a corresponding quotient structure, whose elements are the equivalence classes (or congruence classes) for the relation. The prototypical example of a congruence relation is congruence modulo on the set of integers.
Groupe algébriqueEn géométrie algébrique, la notion de groupe algébrique est un équivalent des groupes de Lie en géométrie différentielle ou complexe. Un groupe algébrique est une variété algébrique munie d'une loi de groupe compatible avec sa structure de variété algébrique. Un groupe algébrique sur un corps (commutatif) K est une variété algébrique sur munie : d'un morphisme de K-variétés algébriques (appelé aussi multiplication) .
Variété rationnelleEn géométrie algébrique, une variété rationnelle est une variété algébrique (intègre) V sur un corps K qui est birationnelle à un espace projectif sur K, c'est-à-dire qu'un certain ouvert dense de V est isomorphe à un ouvert d'un espace projectif. De façon équivalente, cela signifie que son corps de fonctions est isomorphe au corps des fractions rationnelles à d indéterminées K(U, ... , U), l'entier d étant alors égal à la dimension de la variété. Soit V une variété algébrique affine de dimension d définie par un idéal premier ⟨f, .
Rational mappingIn mathematics, in particular the subfield of algebraic geometry, a rational map or rational mapping is a kind of partial function between algebraic varieties. This article uses the convention that varieties are irreducible. Formally, a rational map between two varieties is an equivalence class of pairs in which is a morphism of varieties from a non-empty open set to , and two such pairs and are considered equivalent if and coincide on the intersection (this is, in particular, vacuously true if the intersection is empty, but since is assumed irreducible, this is impossible).
