Variété algébrique affine

En géométrie algébrique, une variété affine est un modèle local pour les variétés algébriques, c'est-à-dire que celles-ci sont obtenues par recollement de variétés affines. Grossièrement, une variété affine est un ensemble algébrique affine X avec une structure algébrique supplémentaire qui est la donnée de l'anneau des fonctions régulières sur chaque partie ouverte de X. Ensemble algébrique Le point de vue le plus simple pour décrire une variété algébrique affine est l'ensemble des solutions d'un système d'équations polynomiales à coefficients dans un corps commutatif K. Autrement dit, une variété affine est une partie de Kn dont les points annulent des polynômes P1, ...,Pr de K[X1, ...,Xn]. La géométrie algébrique offre une vision purement algébrique de ce concept de variété affine, par l'équivalence suivante : avec Spm le spectre maximal (i.e. l'ensemble des idéaux maximaux), l'idéal engendré par les et √ le radical d'un idéal. Le point de vue de gauche est dit analytique et celui de droite algébrique. Dans le point de vue algébrique on ne manipule plus des points de Kn mais des polynômes à n indéterminées. Exemples L'ensemble est une variété algébrique affine (lieu d'annulation du polynôme nul), il correspond à Spm K[X1, ...,Xn] entier. Le cercle x2 + y2 = 1 dans R2 est une variété affine, de même que les coniques. On note A = K[X1, ...,Xn] / √( P1, ...,Pr) la K-algèbre quotient servant à définir la variété affine. Ce quotient permet d'écrire Pi (X1, ...,Xn) = 0 en remplaçant les petits xj ∈ K par des grands Xj indéterminés. On peut donc formellement effectuer les mêmes calculs sur les Xj que sur les xj. Le radical d'idéal autorise les simplifications de la forme avec Q un polynôme et m entier positif, à l'instar de ce qui se passerait en travaillant avec les petits xj ∈ K. Autrement dit A est une K-algèbre réduite, au sens où son seul élément nilpotent est 0. L'opération Spm sert à extraire de A un ensemble que l'on a envie d'identifier avec Z(P1, ...,Pr) ⊂ Kn, l'intersection des zéros de tous les Pi, c'est-à-dire la variété du point de vue analytique.