ARMA

En statistique, les modèles ARMA (modèles autorégressifs et moyenne mobile), ou aussi modèle de Box-Jenkins, sont les principaux modèles de séries temporelles. Étant donné une série temporelle , le modèle ARMA est un outil pour comprendre et prédire, éventuellement, les valeurs futures de cette série. Le modèle est composé de deux parties : une part autorégressive (AR) et une part moyenne-mobile (MA). Le modèle est généralement noté ARMA(,), où est l'ordre de la partie AR et l'ordre de la partie MA. Processus autorégressif Un modèle autorégressif d'ordre , en abrégé AR(), s'écrit : où sont les paramètres du modèle, est une constante et un bruit blanc. La constante est bien souvent omise dans la littérature, le processus étant alors dit centré. Des contraintes supplémentaires sur les paramètres sont nécessaires pour garantir la stationnarité. Par exemple, pour le modèle AR(1), les processus tels que |φ1| ≥ 1 ne sont pas stationnaires. Un modèle AR(1) est donné par : où est un bruit blanc, de moyenne nulle et de variance . Si , le modèle est stationnaire en variance. Si , alors le processus exhibe une , ce qui signifie qu'il est une marche aléatoire, et n'est pas stationnaire en variance. Supposons donc . L'espérance, la variance, l'autocovariance du processus valent respectivement : Prendre revient à avoir une moyenne nulle. On introduit un taux de décroissance de la fonction d'autocovariance La densité spectrale de puissance est la transformée de Fourier de la fonction d'autocovariance. Dans le cas discret, cela s'écrit : Ce développement est périodique dû à la présence du terme en cosinus au dénominateur. En supposant que le temps d'échantillonnage () est plus petit que le taux de décroissance (), alors on peut utiliser une approximation continue de : qui présente une forme lorentzienne pour la densité spectrale : où est la fréquence angulaire associée à . Une expression alternative pour peut être dérivée en remplaçant par dans l'équation définissante.