Processus autorégressif

Un processus autorégressif est un modèle de régression pour séries temporelles dans lequel la série est expliquée par ses valeurs passées plutôt que par d'autres variables. Un processus autorégressif d'ordre p, noté AR(p) est donné par : où sont les paramètres du modèle, est une constante et un bruit blanc. En utilisant l'opérateur des retards, on peut l'écrire : Un processus autorégressif d'ordre 1 s'écrit : On peut formuler le processus AR(1) de manière récursive par rapport aux conditions précédentes : En remontant aux valeurs initiales, on aboutit à : Il est à noter que les sommes vont ici jusqu'à l'infini. Cela est dû au fait que les séries temporelles sont souvent supposées commencer depuis et non pas . Certains auteurs considèrent cependant que la série commence en et ajoutent alors la valeur initiale dans la formule. On peut voir que est le bruit blanc convolué avec le noyau plus une moyenne constante. Si le bruit blanc est gaussien, alors est aussi un processus normal. La Densité spectrale de puissance est la Transformée de Fourier de la fonction d'autocovariance. Dans le cas discret, cela s'écrit : Ce développement est périodique dû à la présence du terme en cosinus au dénominateur. En supposant que le temps d'échantillonnage () est plus petit que le decay time (), alors on peut utiliser une approximation continue de : qui présente une forme lorentzienne pour la densité spectrale : où est la fréquence angulaire associée à . Pour calculer les différents moments d'un processus AR(1), soit son espérance, sa variance, son autocovariance et son autocorrélation, on va supposer que les bruits blancs sont indépendamment et identiquement distribués, d'espérance nulle et de variance (que l'on note ). Démonstration par raisonnement par récurrence P(0) (initialisation): , parce que X0 est déterministe. L'expression est : P(t+1) (hérédité ) : Comme E est un opérateur linéaire : Avec l'hypothèse d'induction : Par un changement de variables dans la somme, i → i-1 : Et, avec : Le paramètre détermine si le processus AR(1) est stationnaire ou non : Sous la condition , les résultats suivants viennent du fait que si alors la série géométrique .