Préconditionneur

En algèbre linéaire et en analyse numérique, un préconditionneur d'une matrice est une matrice telle que le conditionnement de est plus petit que celui de . Le préconditionnement est surtout utilisé dans les méthodes itératives pour la résolution d'un système linéaire (méthode du gradient, méthode du gradient conjugué, ...). Au lieu de résoudre, on préfère résoudre qui permet de diminuer considérablement le nombre d'itérations dans la méthode de résolution (itérative). On dit que le système est "mieux" conditionné. Ici, on a écrit un préconditionneur à gauche. On peut aussi écrire un préconditionneur à droite. Dans ce cas, la résolution se fait en deux temps : et On peut, dans la même idée, écrire un préconditionneur à droite et à gauche, ou split preconditioner, c'est-à-dire : avec et En général, on ne calcule pas explicitement , mais on utilise des algorithmes pour trouver un inverse approché de . Dans certaines méthodes numériques (intégrales de frontières avec décomposition multipôles, ...), on préfère définir le produit matrice-vecteur, ce qui permet de réduire le stockage de(s) matrice(s), donc certains types de préconditionneur seront préférés. Ces préconditionneurs simples sont très utilisés pour leur intérêt pratique, car simples à calculer et efficaces pour des matrices creuses. Dans la suite, on décompose A en trois matrices : A = D +L+U, avec D sa diagonale, L, une matrice triangulaire inférieure stricte et U, une matrice triangulaire supérieure stricte. Préconditionneur de Jacobi Il s'agit d'un des préconditionneurs les plus simples : la matrice P est choisie comme étant la diagonale de la matrice du système A. Il est intéressant dans le cas des matrices à diagonale dominante. Préconditionneur de Gauss-Seidel La matrice P est choisie comme étant la partie inférieure de la matrice :. SOR (Successive over-relaxation) Méthode de surrelaxation successive SSOR (Symmetric successive over-relaxation) SPAI (Sparse Approximate Inverse) Le préconditionneur T=P est la matrice minimisant , où est la norme de Frobenius.