Suite de composition

La notion de suite de composition est une notion de théorie des groupes. Elle permet, dans un sens qui sera précisé, de considérer un groupe comme « composé » de certains de ses sous-groupes. Soient G un groupe et e son élément neutre. On appelle suite de composition de G toute suite finie (G_0, G_1, ..., G_r) de sous-groupes de G telle queet que, pour tout i ∈ {0, 1, ..., r – 1}, G_i+1 soit sous-groupe normal de G_i.Les quotients G_i/G_i+1 sont appelés les quotients de la suite. Soient Σ_1 = (G_0, G_1, ..., G_r) et Σ_2 = (H_0, H_1, ..., H_s) deux suites de composition de G. On dit que Σ_2 est un raffinement de Σ_1, ou encore que Σ_2 est plus fine que Σ_1, si Σ_1 est extraite de Σ_2, c'est-à-dire s'il existe des indices 0 = j(0) < j(1) ... < j(r) = s tels que G_i = H_j(i) pour tout Σ_1 et Σ_2 sont équivalentes si r = s et s'il existe une permutation σ de l'ensemble {0, 1, ..., r – 1} telle que pour tout i dans cet ensemble, le quotient G_i/G_i+1 soit isomorphe au quotient H_σ(i)/H_σ(i)+1. Soit Σ = (G_0, G_1, ..., G_r) une suite de composition de G. Les trois conditions suivantes sont équivalentes :a) Σ est strictement décroissante et n'admet pas d'autre raffinement strictement décroissant qu'elle-même ;b) les quotients de Σ sont tous des groupes simples ;c) pour tout i ∈ [0, r – 1], G_i+1 est un sous-groupe distingué maximal de G_i (c'est-à-dire un élément maximal, relativement à l'inclusion, de l'ensemble des sous-groupes propres distingués de G_i).On appelle suite de Jordan-Hölder une suite de composition possédant les propriétés équivalentes a) à c). Remarque : les auteurs de langue anglaise appellent ce qui est appelé ici suite de Jordan-Hölder. Pour tout groupe G, la suite (G, {e}) est une suite de composition. C'est une suite de Jordan-Hölder si et seulement si G est simple. S_3 ⊃ A_3 ⊃ {e} est une suite de Jordan-Hölder. Théorème de raffinement de Schreier : pour deux suites de composition d'un même groupe, il existe toujours un raffinement de la première et un raffinement de la seconde qui sont équivalents.