Groupe fini

vignette|Un exemple de groupe fini est le groupe des transformations laissant invariant un flocon de neige (par exemple la symétrie par rapport à l'axe horizontal). En mathématiques, un groupe fini est un groupe constitué d'un nombre fini d'éléments. Soit G un groupe. On note en général sa loi multiplicativement et on désigne alors son élément neutre par 1. Toutefois, si G est abélien, la loi est souvent notée additivement et son élément neutre est alors désigné par 0 ; ce n'est cependant pas une règle générale : par exemple, le groupe multiplicatif d'un corps commutatif est noté multiplicativement, bien qu'il soit abélien. On dit que G est un groupe fini lorsque l'ensemble G est fini. Le nombre d'éléments de G est alors noté |G| et est appelé ordre du groupe. On supposera dans la suite que G est un groupe fini. Soit . Comme G est fini, le principe des tiroirs de Dirichlet permet de montrer que l'ensemble est non vide. Il admet donc un plus petit élément, que l'on appelle l'ordre de . Il s'agit ici de l'ordre de l'élément , distinct de l'ordre du groupe G défini ci-dessus. Ces deux notions d'ordre sont liées, par exemple dans le cas des groupes cycliques décrits ci-dessous. L'ordre d d'un élément g possède une propriété arithmétique très utile (qui provient directement de la division euclidienne) : Un sous-ensemble S de G engendre ce groupe si tous les éléments de G s'écrivent comme un produit d'éléments ou d'inverses d'éléments de S. L'ensemble S est appelé une partie génératrice de G. Comme G est fini, l'inverse d'un élément g est une puissance de g (plus précisément, on a g-1 = gd–1, où d désigne l'ordre de g). Il suit donc qu'un sous-ensemble S de G est une partie génératrice si et seulement si tout élément de G est un produit d'éléments de S. Un groupe fini engendré par un singleton {g} est dit cyclique. Par abus de langage, on dit que l'élément g engendre G, et on note alors . Il est facile de vérifier qu'un tel groupe est nécessairement abélien. Remarquons que l'ordre d'un groupe fini cyclique est égal à l'ordre d'un de ses générateurs.