Tribu (mathématiques)

En mathématiques, une tribu ou σ-algèbre (lire sigma-algèbre) ou plus rarement corps de Borel sur un ensemble X est un ensemble non vide de parties de X, stable par passage au complémentaire et par union dénombrable (donc aussi par intersection dénombrable). Les tribus permettent de définir rigoureusement la notion d'ensemble mesurable. Progressivement formalisées pendant le premier tiers du , les tribus constituent le cadre dans lequel s'est développée la théorie de la mesure. Leur introduction est notamment rendue nécessaire par le théorème d'Ulam. Les exemples les plus fameux en sont les tribus boréliennes, du nom d'Émile Borel, qui construisit la tribu borélienne de la droite réelle en 1898, et la tribu de Lebesgue, formée des ensembles mesurables définis par Henri Lebesgue en 1901. En conséquence, les tribus sont aussi fondamentales en théorie des probabilités, dont l'axiomatisation moderne s'appuie sur la théorie de la mesure. Dans ce domaine, les tribus ne sont pas seulement le support du formalisme, mais aussi un outil puissant, qui est à la base de la définition de concepts parmi les plus importants : espérance conditionnelle, martingales Une minorité de sources exigent également que ne soit pas vide ; cette hypothèse supplémentaire n'est utilisée à aucun endroit de cet article. Formellement : contient (où désigne le complémentaire de dans ). si alors (l'union est dite « dénombrable » parce que l'ensemble des indices l'est). La définition qui précède a l'intérêt d'être lisible sans connaître le langage des algèbres de Boole ; si on le connaît, on peut l'exprimer sous forme plus resserrée : Le couple est appelé espace mesurable ou espace probabilisable en fonction du contexte. Sur les espaces mesurables on définit des mesures ; sur les espaces probabilisables on s'intéresse spécifiquement aux probabilités. Les parties de qui appartiennent à la tribu sont appelées ensembles mesurables. Dans un contexte probabiliste, on les appelle événements. La tribu dite grossière : .