Opérateur différentiel

En mathématiques, et plus précisément en analyse, un opérateur différentiel est un opérateur agissant sur des fonctions différentiables. Lorsque la fonction est à une seule variable, l'opérateur différentiel est construit à partir des dérivées ordinaires. Lorsque la fonction est à plusieurs variables, l'opérateur différentiel est construit à partir des dérivées partielles. Un opérateur différentiel agissant sur deux fonctions est appelé opérateur bidifférentiel. L'opération différentielle la plus commune consiste simplement à prendre la dérivée de la grandeur considérée. Les notations usuelles pour désigner la dérivée première par rapport à une variable x sont par exemple : ou , ou encore ou . La notation en D est attribuée à Oliver Heaviside, qui l'a introduite dans son étude des équations différentielles pour noter des opérateurs différentiels de la forme : Pour des dérivées d'ordre n supérieur, ces mêmes opérateurs peuvent s'écrire : ou encore La notation en "prime" s'utilise plutôt pour exprimer la valeur que prend une fonction dérivée f pour un argument x : ou : Deux opérateurs différentiels particulièrement fréquents sont l'opérateur nabla, défini dans une base cartésienne , par : ainsi que l'opérateur laplacien, défini par : Un autre opérateur utilisé en physique est l'opérateur Θ, dont les vecteurs propres sont les monômes homogènes, défini par ou, dans le cas de plusieurs variables, Soit un ouvert de , et un point de . On introduit les coordonnées . Supposons que l'on ait une fonction des variables . Pour simplifier les écritures, on note usuellement la dérivée partielle première par rapport à la coordonnée par le symbole : On est également amené à introduire l'opérateur différentiel du premier ordre défini par : Dans cette définition, est la « racine de l'unité » complexe : . L'intérêt de définir cet opérateur apparaîtra plus tard, en relation avec la transformée de Fourier.