Loi normale généralisée

En théorie des probabilités et en statistique, la loi normale généralisée ou loi gaussienne généralisée désigne deux familles de lois de probabilité à densité dont les supports sont l'ensemble des réels. Cette loi rajoute un paramètre de forme à la loi normale. Pour les différencier, les deux familles seront appelées « version 1 » et « version 2 », ce ne sont cependant pas des appellations standards. La densité de probabilité des lois de cette famille est donnée par la formule : où est la fonction gamma, est un paramètre de position, est un paramètre d'échelle et est un paramètre de forme. Les lois de probabilité de cette famille sont également connues sous les termes loi de puissance exponentielle ou loi d'erreur généralisée. Ce sont des lois symétriques. La famille inclut les lois normale et de Laplace, et comme cas limites, elle contient la loi uniforme continue sur les intervalles. Lorsque , la loi normale généralisée est la loi normale de moyenne et de variance . Lorsque , la loi normale généralisée est la Loi de Laplace. Lorsque tend vers l'infini, la densité converge (simplement) vers la densité de la loi uniforme continue sur . Cette famille possède des lois dont la traîne (ou queue) est plus longue que celle de la loi normale, lorsque . Elle possède également des lois dont la traîne est moins longue que celle de la loi normale, . L'estimation des paramètres est étudiée via le maximum de vraisemblance et la méthode des moments. Les estimées n'ont généralement pas de forme explicite et sont obtenues numériquement. Mais certaines ne nécessitent pas de simulation numérique La fonction logarithme du maximum de vraisemblance de la loi normale généralisée est de classe , c'est-à-dire indéfiniment dérivable, seulement si . Dans le cas contraire, la fonction possède dérivées continues. Cette version 1 de loi normale généralisée a été utilisée en modélisation lorsque l'intérêt de l'étude porte sur la concentration des valeurs autour de la moyenne et sur le comportement de la traîne.