Équation de Langevin

Léquation de Langevin' (1908) est une équation stochastique pour le mouvement brownien. Dans l'approche théorique de Langevin, une grosse particule brownienne de masse m, supposée animée à l'instant t d'une vitesse , est soumise à deux forces bien distinctes : une force de frottement fluide du type , où k est une constante positive. Dans le cas d'une particule sphérique de rayon a, cette constante s'écrit explicitement : (loi de Stokes). une force complémentaire, notée , qui synthétise la résultante des chocs aléatoires des molécules de fluide environnantes. Langevin écrit à propos de cette force supplémentaire qu'« elle est indifféremment positive et négative, et sa grandeur est telle qu'elle maintient l'agitation de la particule que, sans elle, la résistance visqueuse finirait par arrêter ». On appelle au une telle force un bruit blanc gaussien. On applique le principe fondamental de la dynamique de Newton, ce qui conduit à l'équation stochastique de Langevin : Prenons le produit scalaire de cette équation avec le vecteur position (en omettant la dépendance en temps pour simplifier les notations) : Remarquons alors d'une part que : et d'autre part que : En substituant ces expressions dans le produit scalaire obtenu à partir de l'équation de Langevin, on obtient une nouvelle forme de l'équation différentielle : On prend alors la moyenne de l'équation précédente sur toutes les réalisations possibles du bruit blanc gaussien. Il vient : On fait l'hypothèse avec Langevin que la valeur moyenne du terme de bruit est nulle : Par ailleurs, le processus de moyenne sur le bruit commute avec la dérivation temporelle : ce qui conduit à l'équation différentielle pour les moyennes : On pose alors : de telle sorte que l'équation différentielle se réécrive sous la forme simple : On obtient une estimation du dernier terme de vitesse quadratique moyenne en utilisant le théorème d'équipartition de l'énergie de la physique statistique classique. Pour le mouvement d'une particule dans un espace à d dimensions, on obtient : où est la constante de Boltzmann, et la température absolue en kelvins.