Loi log-logistique

Dans la théorie des probabilités et en statistiques, la loi log-logistique (connue aussi comme la distribution de Fisk en économie) est une loi de probabilité continue pour une variable aléatoire strictement positive. Elle est utilisée dans l'étude de la durée de vie d'événement dont l'intensité augmente d'abord pour ensuite décroître, comme pour la mortalité dû au cancer après diagnostic ou traitement. Elle est aussi utilisée en hydrologie pour modéliser le débit d'un cours d'eau ou le niveau des précipitations, et en économie pour modéliser l'inégalité des revenus. La loi log-logistique est la loi d'une variable aléatoire dont le logarithme est distribué selon une loi logistique. Elle ressemble beaucoup à la loi log-normale, mais s'en distingue par des queues plus épaisses. Par ailleurs, sa fonction de répartition admet une expression explicite, contrairement à la log-normale. Il existe différentes paramétrisations de la distribution. Celle choisie ici permet une interprétation raisonnable des paramètres et permet une expression simplifiée pour la fonction de répartition. Le paramètre α > 0 est un paramètre d'échelle et joue aussi le rôle de médiane de la distribution. Le paramètre β > 0 est un paramètre de forme. La distribution est unimodale lorsque β > 1 et sa dispersion décroît lorsque β augmente. La fonction de répartition est où , α > 0, β > 0. La densité de probabilité est Le -ième moment existe seulement quand et se donne alors par où B est la fonction bêta. L'expression pour les espérance, variance, coefficient d'asymétrie et coefficient d’aplatissement (kurtosis) se tirent de l'expression précédente. En posant la moyenne prend la forme et la variance devient Les expressions explicites de la kurtosis et du skewness sont plus longues à reproduire. Lorsque β tend vers l'infini, la moyenne (espérance) tend vers α, la variance et le skewness tendent tous deux vers 0 et la kurtosis tend vers 6/5 (voir aussi #Distributions associées ci-dessous).