Espace préhilbertien

En mathématiques, un espace préhilbertien est défini comme un espace vectoriel réel ou complexe muni d'un produit scalaire. Cette notion généralise celles d'espace euclidien ou hermitien dans le cas d'une dimension quelconque, tout en conservant certaines bonnes propriétés géométriques des espaces de dimension finie grâce aux propriétés du produit scalaire, mais en perdant un atout de taille : un espace préhilbertien de dimension infinie n'est pas nécessairement complet. On peut cependant le compléter, pour obtenir un espace de Hilbert. Le cas général d'un espace préhilbertien en dimension infinie diffère à bien des égards de la dimension finie. L'espace dual n'est plus nécessairement isomorphe à l'espace, l'orthogonal d'un sous-espace vectoriel F n'est plus nécessairement un supplémentaire de F, et l'inclusion de F dans son biorthogonal peut être stricte. Par ailleurs, les applications linéaires ne sont plus nécessairement continues. Les techniques d'analyse de l'espace sont en conséquence un peu différentes. Les cas de dimension finie sont traités dans les articles « Espace euclidien » et « Espace hermitien ». Le cas général est l'objet essentiel de cet article. Une application importante est l'étude des espaces de fonctions à l'aide des outils de l'algèbre linéaire et bilinéaire. Le produit scalaire est donné par l'intégrale du produit de deux fonctions, ou plus précisément d'une fonction et du conjugué de l'autre pour conserver le caractère sesquilinéaire. À la différence du cas de la dimension finie, le produit scalaire n'est plus toujours défini, au sens où l'image du couple (x,x) peut être nulle même si x est un vecteur non nul. Une intégrale ne dépend en effet pas des valeurs de la fonction sur un ensemble de mesure nulle. Le terme utilisé est semi-produit scalaire. Une précision est généralement donnée : l'espace est séparable, c'est-à-dire qu'il existe une famille de vecteurs dénombrable et dense dans l'espace. Cette configuration correspond à nombre d'espaces fonctionnels.