Matrice orthogonaleUne matrice carrée A (n lignes, n colonnes) à coefficients réels est dite orthogonale si A A = I, où A est la matrice transposée de A et I est la matrice identité. Des exemples de matrices orthogonales sont les matrices de rotation, comme la matrice de rotation plane d'angle θ ou les matrices de permutation, comme Une matrice réelle A est orthogonale si et seulement si elle est inversible et son inverse est égale à sa transposée : A = A. Une matrice carrée est orthogonale si et seulement si ses vecteurs colonnes sont orthogonaux deux à deux et de norme 1.
Orthogonal transformationIn linear algebra, an orthogonal transformation is a linear transformation T : V → V on a real inner product space V, that preserves the inner product. That is, for each pair u, v of elements of V, we have Since the lengths of vectors and the angles between them are defined through the inner product, orthogonal transformations preserve lengths of vectors and angles between them. In particular, orthogonal transformations map orthonormal bases to orthonormal bases. Orthogonal transformations are injective: if then , hence , so the kernel of is trivial.
Rigid transformationIn mathematics, a rigid transformation (also called Euclidean transformation or Euclidean isometry) is a geometric transformation of a Euclidean space that preserves the Euclidean distance between every pair of points. The rigid transformations include rotations, translations, reflections, or any sequence of these. Reflections are sometimes excluded from the definition of a rigid transformation by requiring that the transformation also preserve the handedness of objects in the Euclidean space.
Matrice d'une application linéaireEn algèbre linéaire, la matrice d'une application linéaire est une matrice de scalaires qui permet de représenter une application linéaire entre deux espaces vectoriels de dimensions finies, étant donné le choix d'une base pour chacun d'eux. Soient : E et F deux espaces vectoriels sur un corps commutatif K, de dimensions respectives n et m ; B = (e, ... , e) une base de E, C une base de F ; φ une application de E dans F.
AngleEn géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts. Dans son sens ancien, l'angle est une figure plane, portion de plan délimitée par deux demi-droites. C'est ainsi qu'on parle des angles d'un polygone. Cependant, l'usage est maintenant d'employer le terme « secteur angulaire » pour une telle figure. L'angle peut désigner également une portion de l'espace délimitée par deux plans (angle dièdre). La mesure de tels angles porte couramment mais abusivement le nom d'angle, elle aussi.
Householder transformationIn linear algebra, a Householder transformation (also known as a Householder reflection or elementary reflector) is a linear transformation that describes a reflection about a plane or hyperplane containing the origin. The Householder transformation was used in a 1958 paper by Alston Scott Householder. Its analogue over general inner product spaces is the Householder operator. The reflection hyperplane can be defined by its normal vector, a unit vector (a vector with length ) that is orthogonal to the hyperplane.
Angle droitDans le plan euclidien, deux droites sécantes définissent quatre angles deux à deux égaux. Lorsque ces quatre angles sont égaux, chacun forme un angle droit. Les droites sont alors dites perpendiculaires. Le terme angle droit est un calque du latin angulus rectus : rectus signifie « debout », ce qui renvoie à l'image d'une perpendiculaire à une ligne horizontale. Euclide écrivait, au , dans ses Éléments, livre I, Définition 10 : Un angle droit est donc un quart de tour, ou encore la moitié d'un angle plat.
Kernel (linear algebra)In mathematics, the kernel of a linear map, also known as the null space or nullspace, is the linear subspace of the domain of the map which is mapped to the zero vector. That is, given a linear map L : V → W between two vector spaces V and W, the kernel of L is the vector space of all elements v of V such that L(v) = 0, where 0 denotes the zero vector in W, or more symbolically: The kernel of L is a linear subspace of the domain V.
Projective orthogonal groupIn projective geometry and linear algebra, the projective orthogonal group PO is the induced action of the orthogonal group of a quadratic space V = (V,Q) on the associated projective space P(V). Explicitly, the projective orthogonal group is the quotient group PO(V) = O(V)/ZO(V) = O(V)/{±I} where O(V) is the orthogonal group of (V) and ZO(V)={±I} is the subgroup of all orthogonal scalar transformations of V – these consist of the identity and reflection through the origin.
Groupe orthogonalEn mathématiques, le groupe orthogonal réel de degré n, noté O(n), est le groupe des transformations géométriques d'un espace Euclidien de dimension n qui préservent les distances (isométries) et le point origine de l'espace. Formellement, on introduit le groupe orthogonal d'une forme quadratique q sur E, espace vectoriel sur un corps commutatif K, comme le sous-groupe du groupe linéaire GL(E) constitué des automorphismes f de E qui laissent q invariante : pour tout vecteur x de E.
Internal and external anglesIn geometry, an angle of a polygon is formed by two adjacent sides. For a simple (non-self-intersecting) polygon, regardless of whether it is convex or non-convex, this angle is called an (or interior angle) if a point within the angle is in the interior of the polygon. A polygon has exactly one internal angle per vertex. If every internal angle of a simple polygon is less than a straight angle (π radians or 180°), then the polygon is called convex.
Matrice de DiracLes matrices de Dirac sont des matrices qui furent introduites par Paul Dirac, lors de la recherche d'une équation d'onde relativiste de l'électron. Le pendant relativiste de l'équation de Schrödinger est l'équation de Klein-Gordon. Celle-ci décrit des particules de spin 0 et ne convient pas pour les électrons qui sont de spin 1/2. Dirac essaya alors de trouver une équation linéaire comme celle de Schrödinger sous la forme : où est une fonction d'onde vectorielle, la masse de la particule, l'hamiltonien, sont respectivement un vecteur de matrices hermitiques et une matrice hermitique, et i désigne l'unité imaginaire.
Trisection de l'angleLa trisection de l'angle est un problème classique de mathématiques. C'est un problème géométrique, faisant partie des trois grands problèmes de l'Antiquité, avec la quadrature du cercle et la duplication du cube. Ce problème consiste à diviser un angle en trois parties égales, à l'aide d'une règle et d'un compas. Sous cette forme, le problème (comme les deux autres) n'a pas de solution, ce qui fut démontré par Pierre-Laurent Wantzel en 1837.
Matrices de PauliLes matrices de Pauli, développées par Wolfgang Pauli, forment, au facteur i près, une base de l'algèbre de Lie du groupe SU(2). Elles sont définies comme l'ensemble de matrices complexes de dimensions suivantes : (où i est l’unité imaginaire des nombres complexes). Ces matrices sont utilisées en mécanique quantique pour représenter le spin des particules, notamment dès 1927 dans l'étude non-relativiste du spin de l'électron : l'équation de Pauli.
Angles d'EulerEn mécanique et en mathématiques, les angles d'Euler sont des angles introduits par Leonhard Euler (1707-1783) pour décrire l'orientation d'un solide ou celle d'un référentiel par rapport à un trièdre cartésien de référence. Au nombre de trois, ils sont appelés angle de précession, de nutation et de rotation propre, les deux premiers pouvant être vus comme une généralisation des deux angles des coordonnées sphériques. Le mouvement d'un solide par rapport à un référentiel (un avion dans l'air, un sous-marin dans l'eau, des skis sur une pente.
Projecteur (mathématiques)En algèbre linéaire, un projecteur (ou une projection) est une application linéaire qu'on peut présenter de deux façons équivalentes : une projection linéaire associée à une décomposition de E comme somme de deux sous-espaces supplémentaires, c'est-à-dire qu'elle permet d'obtenir un des termes de la décomposition correspondante ; une application linéaire idempotente : elle vérifie p = p. Dans un espace hilbertien ou même seulement préhilbertien, une projection pour laquelle les deux supplémentaires sont orthogonaux est appelée projection orthogonale.
Indefinite orthogonal groupIn mathematics, the indefinite orthogonal group, O(p, q) is the Lie group of all linear transformations of an n-dimensional real vector space that leave invariant a nondegenerate, symmetric bilinear form of signature (p, q), where n = p + q. It is also called the pseudo-orthogonal group or generalized orthogonal group. The dimension of the group is n(n − 1)/2. The indefinite special orthogonal group, SO(p, q) is the subgroup of O(p, q) consisting of all elements with determinant 1.
Interrogation (linguistique)En linguistique, l'interrogation est un acte de langage par laquelle l'émetteur d'un énoncé adresse au destinataire (réel ou fictif) de celui-ci une demande d'information portant sur son contenu. Une phrase interrogative est couramment appelée « question ». L'interrogation totale concerne la phrase entière et appelle une réponse totale, comme « oui », « non », « sûrement »... Une telle question totale porte en fait très souvent sur un élément partiel, mis en relief par divers moyens ou non : ex.
Higher-dimensional gamma matricesIn mathematical physics, higher-dimensional gamma matrices generalize to arbitrary dimension the four-dimensional Gamma matrices of Dirac, which are a mainstay of relativistic quantum mechanics. They are utilized in relativistically invariant wave equations for fermions (such as spinors) in arbitrary space-time dimensions, notably in string theory and supergravity. The Weyl–Brauer matrices provide an explicit construction of higher-dimensional gamma matrices for Weyl spinors.
Yes–no questionIn linguistics, a yes–no question, also known as a binary question, a polar question, or a general question, is a question whose expected answer is one of two choices, one that provides an affirmative answer to the question versus one that provides a negative answer to the question. Typically, in English, the choices are either "yes" or "no". Yes–no questions present an exclusive disjunction, namely a pair of alternatives of which only one is a felicitous answer.
