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Séance de cours

Rétractions, champs vectoriels et faisceaux tangents : Rétractations et champs vectoriels

Dans cours

MATH-512: Optimization on manifolds

We develop, analyze and implement numerical algorithms to solve optimization problems of the form min f(x) where x is a point on a smooth manifold. To this end, we first study differential and Riemannian geometry (with a focus dictated by computational con ...

Description

Cette séance de cours couvre le concept de rétractations comme des cartes lisses du faisceau tangent au collecteur, fournissant des exemples sur les collecteurs euclidiens et sphériques. Il introduit également des champs vectoriels sur les collecteurs, les définissant comme des cartes qui attribuent un vecteur tangent à chaque point du collecteur, et discutant de leur douceur et de leurs propriétés d'extension.

Dans MOOC

Introduction à l'optimisation sur des manifolds lisses : méthodes du premier ordre

Enseignant·e

Nicolas Boumal

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Géométrie: Géométrie différentielle

Concepts associés (32)

Variété (géométrie)

En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, la notion de variété peut être appréhendée intuitivement comme la généralisation de la classification qui établit qu'une courbe est une variété de dimension 1 et une surface est une variété de dimension 2. Une variété de dimension n, où n désigne un entier naturel, est un espace topologique localement euclidien, c'est-à-dire dans lequel tout point appartient à une région qui s'apparente à un tel espace.

Variété différentielle

En mathématiques, les variétés différentielles ou variétés différentiables sont les objets de base de la topologie différentielle et de la géométrie différentielle. Il s'agit de variétés, « espaces courbes » localement modelés sur l'espace euclidien de dimension n, sur lesquelles il est possible de généraliser une bonne part des opérations du calcul différentiel et intégral. Une variété différentielle se définit donc d'abord par la donnée d'une variété topologique, espace topologique localement homéomorphe à l'espace R.

3-variété

En mathématiques, une 3-variété est une variété de dimension 3, au sens des variétés topologiques, ou différentielles (en dimension 3, ces catégories sont équivalentes). Certains phénomènes sont liés spécifiquement à la dimension 3, si bien qu'en cette dimension, des techniques particulières prévalent, qui ne se généralisent pas aux dimensions supérieures.

Smooth structure

In mathematics, a smooth structure on a manifold allows for an unambiguous notion of smooth function. In particular, a smooth structure allows one to perform mathematical analysis on the manifold. A smooth structure on a manifold is a collection of smoothly equivalent smooth atlases. Here, a smooth atlas for a topological manifold is an atlas for such that each transition function is a smooth map, and two smooth atlases for are smoothly equivalent provided their union is again a smooth atlas for This gives a natural equivalence relation on the set of smooth atlases.

Champ de vecteurs

thumb|Un exemple de champ de vecteurs, de la forme (-y,x). thumb|Autre exemple. thumb|Le flux d'air autour d'un avion est un champ tridimensionnel (champ des vitesses des particules d'air), ici visualisé par les bulles qui matérialisent les lignes de courant. En mathématiques, un champ de vecteurs ou champ vectoriel est une fonction qui associe un vecteur à chaque point d'un espace euclidien ou plus généralement d'une variété différentielle.

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Séances de cours associées (31)

Champs vecteurs de rétractations et faisceaux tangents : faisceaux Tangent MOOC: Introduction à l'optimisation sur des manifolds lisses : méthodes du premier ordre

Couvre les rétractions, les faisceaux tangents et les sous-manifolds intégrés sur les collecteurs avec des preuves et des exemples.

Formes différentielles sur les collecteurs

Introduit des formes différentielles sur les collecteurs, couvrant les faisceaux tangents et les appariements d'intersection.

Topologie des surfaces de Riemann

Couvre la topologie des surfaces de Riemann, en se concentrant sur l'orientation et l'orientabilité.

Différenciation des champs vectoriaux : Définition

Introduit des champs vectoriels différenciés le long de courbes sur des collecteurs avec des connexions et l'opérateur unique satisfaisant des propriétés spécifiques.

Connexions : Définition axiomatique

Explore les connexions sur les collecteurs, en mettant l'accent sur la définition axiomatique et les propriétés des dérivés dans les champs vectoriels de différenciation.

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Variété (géométrie)

Variété différentielle