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Séance de cours

Processus stochastiques discrets du temps: filtre Wiener

Description

Cette séance de cours couvre le filtre Wiener dans le contexte de processus stochastiques à temps discret, expliquant les concepts de prédiction, de filtrage et de prédiction linéaire. Il s'inscrit dans les fondements mathématiques et les applications pratiques du filtre Wiener.

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vignette| Concept de base du filtre de Kalman. En statistique et en théorie du contrôle, le filtre de Kalman est un filtre à réponse impulsionnelle infinie qui estime les états d'un système dynamique à partir d'une série de mesures incomplètes ou bruitées. Le filtre a été nommé d'après le mathématicien et informaticien américain d'origine hongroise Rudolf Kálmán. Le filtre de Kalman est utilisé dans une large gamme de domaines technologiques (radar, vision électronique, communication...).

Filtre de Wiener

Le filtre de Wiener est un filtre utilisé pour estimer la valeur désirée d'un signal bruité. Le filtre de Wiener minimise l'erreur quadratique moyenne entre le processus aléatoire estimé et le processus souhaité. Norbert Wiener a d'abord proposé le filtre dans les années 1940, puis publié en 1949. Vers la même époque Andreï Kolmogorov travaillait sur des filtres similaires. Le filtre de Wiener a une variété d'applications de traitement du signal, traitement d'image, des systèmes de contrôle et de la communication numérique.

Processus stochastique

Un processus ou processus aléatoire (voir Calcul stochastique) ou fonction aléatoire (voir Probabilité) représente une évolution, discrète ou à temps continu, d'une variable aléatoire. Celle-ci intervient dans le calcul classique des probabilités, où elle mesure chaque résultat possible (ou réalisation) d'une épreuve. Cette notion se généralise à plusieurs dimensions. Un cas particulier important, le champ aléatoire de Markov, est utilisé en analyse spatiale.

Calcul stochastique

Le calcul est l’étude des phénomènes aléatoires dépendant du temps. À ce titre, c'est une extension de la théorie des probabilités. Ne pas confondre avec la technique des calculateurs stochastiques. Le domaine d’application du calcul stochastique comprend la mécanique quantique, le traitement du signal, la chimie, les mathématiques financières, la météorologie et même la musique. Un processus aléatoire est une famille de variables aléatoires indexée par un sous-ensemble de ou , souvent assimilé au temps (voir aussi Processus stochastique).

Équation différentielle stochastique

Une équation différentielle stochastique (EDS) est une généralisation de la notion d'équation différentielle prenant en compte un terme de bruit blanc. Les EDS permettent de modéliser des trajectoires aléatoires, tels des cours de bourse ou les mouvements de particules soumises à des phénomènes de diffusion. Elles permettent aussi de traiter théoriquement ou numériquement des problèmes issus de la théorie des équations aux dérivées partielles.

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