Calcul stochastique

Le calcul est l’étude des phénomènes aléatoires dépendant du temps. À ce titre, c'est une extension de la théorie des probabilités. Ne pas confondre avec la technique des calculateurs stochastiques. Le domaine d’application du calcul stochastique comprend la mécanique quantique, le traitement du signal, la chimie, les mathématiques financières, la météorologie et même la musique. Un processus aléatoire est une famille de variables aléatoires indexée par un sous-ensemble de ou , souvent assimilé au temps (voir aussi Processus stochastique). C'est une fonction de deux variables : le temps et l'état de l'univers . L'ensemble des états de l'univers est traditionnellement noté . L'application qui à un fixé associe , variable, est appelée trajectoire du processus ; c'est une simple fonction du temps (sans caractère aléatoire) qui représente la réalisation particulière du processus sous l'occurrence . Pour un donné, est une simple variable aléatoire dont la valeur exacte n'est connue qu'en t. Le mouvement brownien est un exemple particulièrement simple de processus aléatoire indexé par . Il peut être défini comme l'unique processus à accroissement gaussien tel que la covariance entre et soit . On peut également le voir comme la limite d'une marche aléatoire lorsque le pas de temps tend vers 0. Une filtration , est une famille de sous-tribus emboîtées de , qui peut s’interpréter comme l’information disponible qui évolue au cours du temps. Ainsi, une filtration est une famille de sigma-algèbres, indexée par le temps telle que si , ce qui reflète l'augmentation de l'information disponible. Processus d'Itō Le processus d'Itō, d'après le nom de son inventeur Kiyoshi Itō, traite des opérations mathématiques dans un processus stochastique. Le plus important est l'intégrale stochastique d'Itō. Intégrale d'Itō Avant le calcul, indiquons que : les majuscules telles que notent les variables aléatoires ; les majuscules avec en indice un (par exemple ) notent un processus stochastique qui est une famille de variables aléatoires indexée par ; un petit à gauche d'un processus (par exemple ) signifie un changement infinitésimal dans le processus aléatoire qui est une variable aléatoire.