Convergence uniformeLa convergence uniforme d'une suite de fonctions est une forme de convergence plus exigeante que la convergence simple. La convergence devient uniforme quand toutes les suites avancent vers leur limite respective avec une sorte de « mouvement d'ensemble ». Dans le cas de fonctions numériques d'une variable, la notion prend une forme d'« évidence » géométrique : le graphe de la fonction f se « rapproche » de celui de la limite. Soient X un ensemble, (Y, d) un espace métrique, et A un sous-ensemble de X.
Intervalle (mathématiques)En mathématiques, un intervalle (du latin intervallum) est étymologiquement un ensemble ordonné de points compris entre deux bornes. Cette notion première s'est ensuite développée jusqu'à aboutir à la notion topologique de boule d'un espace métrique. Initialement, on appelle intervalle réel un ensemble de nombres délimité par deux nombres réels constituant une borne inférieure et une borne supérieure. Un intervalle contient tous les nombres réels compris entre ces deux bornes.
Partie bornéeEn mathématiques, la notion de partie bornée (ou, par raccourci, de borné) étend celle d'intervalle borné de réels à d'autres structures, notamment en topologie et en théorie des ordres. Selon les cas, la définition privilégie l'existence de bornes ponctuelles ou la négation de l'éloignement à l'infini. Une fonction bornée est une fonction dont l' est bornée dans l'ensemble d'arrivée. Un opérateur borné est un opérateur linéaire dont les images de bornés sont bornées également.
Continuité uniformeEn topologie, la continuité uniforme (ou l'uniforme continuité) est une propriété plus forte que la continuité, et se définit dans les espaces métriques ou plus généralement les espaces uniformes. Contrairement à la continuité, la continuité uniforme n'est pas une notion « purement topologique » c'est-à-dire ne faisant intervenir que des ouverts : sa définition dépend de la distance ou de la structure uniforme. Le contexte typique de la définition de la continuité uniforme est celui des espaces métriques. N.
Fermé (topologie)En mathématiques, dans un espace topologique E, un fermé est un sous-ensemble de E dont le complémentaire est un ouvert. Toute réunion d'une famille finie de fermés est un fermé (y compris l'ensemble vide ∅, qui est — par définition — la réunion de la famille vide). Toute intersection d'une famille (finie ou infinie) de fermés est un fermé (y compris l'espace E tout entier, qui est — par convention dans ce contexte — l'intersection de la famille vide).
Intervalle unitéEn mathématique, l'intervalle unité est l'intervalle fermé [0,1], c'est-à-dire, l'ensemble de tous les nombres réels qui sont supérieurs ou égaux à 0 et inférieurs ou égaux à 1. Il est souvent noté I. Dans la littérature, le terme "intervalle unité" est parfois appliqué à d'autres intervalles : (0,1], [0,1), et (0,1). Cependant, la notation I est généralement réservée à l'intervalle fermé [0,1]. L'intervalle unité est un espace métrique complet.
Limite (mathématiques)En analyse mathématique, la notion de limite décrit l’approximation des valeurs d'une suite lorsque l'indice tend vers l’infini, ou d'une fonction lorsque la variable se rapproche d’un point (éventuellement infini) au bord du domaine de définition. Si une telle limite existe dans l’ensemble d’arrivée, on dit que la suite ou la fonction est convergente (au point étudié). Si ce n’est pas le cas, elle est divergente, comme dans le cas de suites et fonctions périodiques non constantes (telle la fonction sinus en +∞).
Limite (mathématiques élémentaires)La notion de limite est très intuitive malgré sa formulation abstraite. Pour les mathématiques élémentaires, il convient de distinguer une limite en un point réel fini (pour une fonction numérique) et une limite en ou (pour une fonction numérique ou une suite), ces deux cas apparemment différents pouvant être unifiés à travers la notion topologique de voisinage. Les limites servent (entre autres) à définir les notions fondamentales de continuité et de dérivabilité.
Espace uniformeEn mathématiques, la notion d'espace uniforme, introduite en 1937 par André Weil, est une généralisation de celle d'espace métrique. Une structure uniforme est une structure qui permet de définir la continuité uniforme. On peut y parvenir de deux manières différentes, l'une en généralisant la notion de distance, l'autre avec une axiomatique proche de celle des espaces topologiques. On montre que ces deux approches sont équivalentes. Un écart sur un ensemble est une application [0, +∞] telle que pour tout : (symétrie); (inégalité triangulaire).
One-sided limitIn calculus, a one-sided limit refers to either one of the two limits of a function of a real variable as approaches a specified point either from the left or from the right. The limit as decreases in value approaching ( approaches "from the right" or "from above") can be denoted: The limit as increases in value approaching ( approaches "from the left" or "from below") can be denoted: If the limit of as approaches exists then the limits from the left and from the right both exist and are equal.
Fonction bornéedroite|vignette| Schéma d'une fonction bornée (rouge) et d'une fonction non bornée (bleu). Intuitivement, le graphe d'une fonction bornée reste dans une bande horizontale, contrairement au graphe d'une fonction non bornée. En mathématiques, une fonction est dite bornée si est borné. Pour une fonction f définie sur un ensemble X et à valeurs réelles ou complexes, cela revient à dire qu'il existe un nombre réel M tel que pour tout x dans X, Une fonction à valeurs réelles est dite majorée ( minorée) si l'ensemble de ses valeurs possède un majorant ( minorant) réel.
Applications ouvertes et ferméesEn mathématiques, et plus précisément en topologie, une application ouverte est une application entre deux espaces topologiques envoyant les ouverts de l'un vers des ouverts de l'autre. De même, une application fermée envoie les fermés du premier espace vers des fermés du second. Soit deux espaces topologiques X et Y ; on dit qu'une application f de X vers Y est ouverte si pour tout ouvert U de X, l' f(U) est ouverte dans Y ; de même, on dit que f est fermée si pour tout fermé U de X, l'image f(U) est fermée dans Y.
Limite supérieure et limite inférieurevignette|upright=1.8|Exemple de recherche de limites inférieure et supérieure. La suite (x) est représentée en bleu. En mathématiques, plus précisément en analyse réelle, les limites inférieures et supérieures sont des outils d'étude des suites de nombres réels. Une telle suite n'est en général ni monotone, ni convergente. L'introduction des limites supérieure et inférieure permet de retrouver, partiellement, de telles propriétés. Il s'agit d'un cas particulier de valeurs d'adhérence de la suite.
Image d'une applicationvignette| est une fonction de dans . L'ovale jaune dans est l'image de . On appelle image d'une application f (d'un ensemble A vers un ensemble B) l' par f de l'ensemble de départ A. C'est donc le sous-ensemble de B contenant les de tous les éléments de A, et uniquement ces images. On le note Im(f). Exemple : Une application est surjective si et seulement si son image coïncide avec son ensemble d'arrivée. Lemme des noyaux Catégorie abélienne Limite projective Noyau (algèbre) (autrement dit : d'une relation
Fonction (mathématiques)vignette|Diagramme de calcul pour la fonction En mathématiques, une fonction permet de définir un résultat (le plus souvent numérique) pour chaque valeur d’un ensemble appelé domaine. Ce résultat peut être obtenu par une suite de calculs arithmétiques ou par une liste de valeurs, notamment dans le cas de relevé de mesures physiques, ou encore par d’autres procédés comme les résolutions d’équations ou les passages à la limite. Le calcul effectif du résultat ou son approximation repose éventuellement sur l’élaboration de fonction informatique.
Limite d'une suiteEn mathématiques, de manière intuitive, la limite d'une suite est l'élément dont les termes de la suite se rapprochent quand les indices deviennent très grands. Cette définition intuitive n'est guère exploitable car il faudrait pouvoir définir le sens de « se rapprocher ». Cette notion sous-entend l'existence d'une distance (induite par la valeur absolue dans R, par le module dans C, par la norme dans un espace vectoriel normé) mais on verra que l'on peut même s'en passer pourvu qu'on ait une topologie.
Continuous functionIn mathematics, a continuous function is a function such that a continuous variation (that is a change without jump) of the argument induces a continuous variation of the value of the function. This means that there are no abrupt changes in value, known as discontinuities. More precisely, a function is continuous if arbitrarily small changes in its value can be assured by restricting to sufficiently small changes of its argument. A discontinuous function is a function that is .
Module de continuitéEn analyse mathématique, un module de continuité est une fonction ω : [0, ∞] → [0, ∞] utilisée pour mesurer quantitativement la continuité uniforme des fonctions. Ainsi, une fonction f : I → R admet ω pour module de continuité si et seulement si Puisqu'on impose aux modules de continuité de s’annuler et d'être continus en 0, une fonction est uniformément continue si et seulement si elle admet un module de continuité. De plus, le fait qu'une famille de fonctions admette un module de continuité commun est identique à la notion d'équicontinuité.
Fonction circulaire réciproqueLes fonctions circulaires réciproques, ou fonctions trigonométriques inverses, sont les fonctions réciproques des fonctions circulaires, pour des intervalles de définition précis. Les fonctions réciproques des fonctions sinus, cosinus, tangente, cotangente, sécante et cosécante sont appelées arc sinus, arc cosinus, arc tangente, arc cotangente, arc sécante et arc cosécante. Les fonctions circulaires réciproques servent à obtenir un angle à partir de l'une quelconque de ses lignes trigonométriques, mais aussi à expliciter les primitives de certaines fonctions.
Convergence simpleEn mathématiques, la convergence simple ou ponctuelle est une notion de convergence dans un espace fonctionnel, c’est-à-dire dans un ensemble de fonctions entre deux espaces topologiques. C'est une définition peu exigeante : elle est plus facile à établir que d'autres formes de convergence, notamment la convergence uniforme. Le passage à la limite possède donc moins de propriétés : une suite de fonctions continues peut ainsi converger simplement vers une fonction qui ne l'est pas.
