Convergence simple

En mathématiques, la convergence simple ou ponctuelle est une notion de convergence dans un espace fonctionnel, c’est-à-dire dans un ensemble de fonctions entre deux espaces topologiques. C'est une définition peu exigeante : elle est plus facile à établir que d'autres formes de convergence, notamment la convergence uniforme. Le passage à la limite possède donc moins de propriétés : une suite de fonctions continues peut ainsi converger simplement vers une fonction qui ne l'est pas. Illustrons la convergence simple sur la suite de fonctions continues définie par pour tout entre 0 et . Quand , et donc converge vers 0 quand tend vers l'infini. Pour , on a , qui converge vers 1 quand tend vers l'infini. Ainsi, en posant , on a pour tout entre 0 et 1, qui tend vers quand tend vers l'infini. Autrement, converge simplement vers quand tend vers l'infini. La figure à droite montre les graphes des fonctions (en bleu et vert) et de la fonction (en rouge). Le graphe de ressemble à une cloche centrée autour de . On voit que, plus grandit, plus cette cloche se resserre. On notera que la convergence simple ne preserve pas continuité : bien que les fonctions soient continues, la fonction limite , elle, ne l'est pas (elle admet une discontinuité au point ). Soient X un ensemble, Y un espace topologique, et une suite de fonctions définies sur X et à valeurs dans Y. La suite converge simplement si pour tout , la suite converge dans Y. La suite d'applications converge simplement vers une application si pour tout , la suite converge vers f(x). L'ensemble de départ X n'est pas supposé muni d'une structure topologique. Si l'espace d'arrivée Y est supposé séparé, alors l'éventuelle limite simple d'une suite de fonctions à valeurs dans Y est toujours unique. Si Y est même un espace métrique, c'est-à-dire muni d'une distance d et de la topologie associée, alors on peut traduire la notion de convergence simple en termes de « epsilon » : Une suite de fonctions converge simplement sur A vers une fonction f si et seulement si Topologie produit L'ensemble des applications de X dans Y est noté Y.