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Séance de cours

Construction d'une méthode itérative

Dans cours (2)

MATH-250: Advanced numerical analysis I

Construction and analysis of numerical methods for the solution of problems from linear algebra, integration, approximation, and differentiation. ...

MATH-251(c): Analyse numérique

Le cours présente des méthodes numériques pour la résolution de problèmes mathématiques comme des systèmes d'équations linéaires ou non linéaires, l'approximation de fonctions, l'intégration et la dérivation, et les équations différentielles. ...

Description

Cette séance de cours couvre la construction d'une méthode itérative pour les systèmes linéaires en décomposant une matrice A en P, T et P_A, où P est inversible. La méthode consiste à appliquer une matrice de préconditionnement pour améliorer la convergence. La séance de cours traite également du processus itératif et de l'importance des propriétés de la matrice pour un calcul efficace.

Enseignant·e·s (3)

Annalisa Buffa

Simone Deparis

Daniel Kressner

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre linéaire

Concepts associés (32)

Matrix decomposition

In the mathematical discipline of linear algebra, a matrix decomposition or matrix factorization is a factorization of a matrix into a product of matrices. There are many different matrix decompositions; each finds use among a particular class of problems. In numerical analysis, different decompositions are used to implement efficient matrix algorithms. For instance, when solving a system of linear equations , the matrix A can be decomposed via the LU decomposition.

Factorisation de Cholesky

La factorisation de Cholesky, nommée d'après André-Louis Cholesky, consiste, pour une matrice symétrique définie positive , à déterminer une matrice triangulaire inférieure telle que : . La matrice est en quelque sorte une « racine carrée » de . Cette décomposition permet notamment de calculer la matrice inverse , de calculer le déterminant de A (égal au carré du produit des éléments diagonaux de ) ou encore de simuler une loi multinormale. Elle est aussi utilisée en chimie quantique pour accélérer les calculs (voir Décomposition de Cholesky (chimie quantique)).

Décomposition polaire

La décomposition polaire est un outil mathématique fondamental pour comprendre les propriétés topologiques des groupes linéaires réels et complexes. Les applications suivantes sont des homéomorphismes, et même des difféomorphismes. En particulier, toute matrice inversible réelle se décompose de façon unique en produit d'une matrice orthogonale et d'une matrice symétrique définie positive. Les applications suivantes sont surjectives mais non injectives : En particulier, toute matrice réelle se décompose en produit d'une matrice orthogonale et d'une unique matrice symétrique positive (mais pas nécessairement de façon unique).

Décomposition d'une matrice en éléments propres

En algèbre linéaire, la décomposition d'une matrice en éléments propres est la factorisation de la matrice en une forme canonique où les coefficients matriciels sont obtenus à partir des valeurs propres et des vecteurs propres. Un vecteur non nul v à N lignes est un vecteur propre d'une matrice carrée A à N lignes et N colonnes si et seulement si il existe un scalaire λ tel que : où λ est appelé valeur propre associée à v. Cette dernière équation est appelée « équation aux valeurs propres ».

Décomposition en valeurs singulières

En mathématiques, le procédé d'algèbre linéaire de décomposition en valeurs singulières (ou SVD, de l'anglais singular value decomposition) d'une matrice est un outil important de factorisation des matrices rectangulaires réelles ou complexes. Ses applications s'étendent du traitement du signal aux statistiques, en passant par la météorologie. Le théorème spectral énonce qu'une matrice normale peut être diagonalisée par une base orthonormée de vecteurs propres.

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Séances de cours associées (25)

Factorisation QR : Résolution du système des moindres carrés MOOC: Algèbre Linéaire (Partie 3)

Couvre la méthode de factorisation QR appliquée à la résolution d'un système d'équations linéaires au sens des moindres carrés.

Résolution des systèmes linéaires MOOC: Algèbre Linéaire (Partie 1)

Explore la décomposition de LU pour résoudre les systèmes linéaires et l'associativité des opérations.

Techniques de diagonalisation: Méthode Jacobi

Explore la méthode Jacobi et les techniques de diagonalisation, y compris la transformation de similarité, les méthodes de puissance et la décomposition QR.

Techniques de diagonalisation: Méthode Jacobi

Couvre la méthode Jacobi, la rotation Givens, la décomposition QR et les techniques de diagonalisation en physique computationnelle.

Décompositions matricielles : LU, Cholesky, QR, Eigendecomposition

Explore les décompositions matricielles pour résoudre des systèmes linéaires et simuler des dynamiques.

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Concepts associés (32)

Matrix decomposition

Factorisation de Cholesky

Décomposition polaire

Décomposition d'une matrice en éléments propres

Décomposition en valeurs singulières

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