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Calcul différentiel : fonctions hyperboliques

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Description

Cette séance de cours couvre le calcul différentiel en mettant l'accent sur les fonctions hyperboliques, y compris la dérivée des fonctions sinus hyperboliques, cosinus et tangentes. Il explore également les séries de Taylor, les dérivés d'ordre supérieur et le concept d'antidérivés. L'instructeur démontre l'application des dérivés dans la recherche de zones sous les courbes et l'importance des zones signées dans les intégrales.

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Proximité ontologique

Mathématiques

Analyse (mathématiques): Calcul infinitésimal, Analyse complexe

Concepts associés (32)

Fonction hyperbolique

En mathématiques, on appelle fonctions hyperboliques les fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique et tangente hyperbolique. Les noms « sinus », « cosinus » et « tangente » proviennent de leur ressemblance avec les fonctions trigonométriques (dites « circulaires » car en relation avec le cercle unité x + y = 1) et le terme « hyperbolique » provient de leur relation avec l'hyperbole d'équation x – y = 1. Elles sont utilisées en analyse pour le calcul intégral, la résolution des équations différentielles mais aussi en géométrie hyperbolique.

Série de Taylor

thumb|Brook Taylor, dont la série porte le nom. En mathématiques, et plus précisément en analyse, la série de Taylor au point d'une fonction (réelle ou complexe) indéfiniment dérivable en ce point, appelée aussi le développement en série de Taylor de en , est une série entière approchant la fonction autour de , construite à partir de et de ses dérivées successives en . Elles portent le nom de Brook Taylor, qui les a introduites en 1715.

Primitive

En mathématiques, une primitive d’une fonction réelle (ou holomorphe) f est une fonction F dont f est la dérivée : Il s’agit donc d’un antécédent pour l’opération de dérivation. La détermination d’une primitive sert d’abord au calcul des intégrales de fonctions continues sur un segment, en application du théorème fondamental de l'analyse.

Fonction lemniscatique

En mathématiques, les fonctions lemniscatiques sont des fonctions elliptiques liées à la longueur d'arc d'une lemniscate de Bernoulli ; ces fonctions ont beaucoup d'analogies avec les fonctions trigonométriques. Elles ont été étudiées par Giulio Fagnano en 1718 ; leur analyse approfondie, et en particulier la détermination de leurs périodes, a été obtenue par Carl Friedrich Gauss en 1796. Ces fonctions ont un réseau de périodes carré, et sont étroitement reliées à la fonction elliptique de Weierstrass dont les invariants sont g2 = 1 et g3 = 0.

Fonction de Gudermann

En mathématiques, la fonction de Gudermann, appelée aussi parfois gudermannien, et notée gd, nommée en l'honneur de Christoph Gudermann, fait le lien entre la trigonométrie circulaire et la trigonométrie hyperbolique sans faire intervenir les nombres complexes. La fonction de Gudermann est définie sur l'ensemble des réels par : Le réel , appelé parfois gudermannien de , est relié à ce dernier par les relations : La dérivée de la fonction de Gudermann est donnée par .

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Explore les intégrales inappropriées, les critères de convergence, les théorèmes de comparaison et la révolution solide.

Série Taylor: Dérivés et intégraux

Explore les extensions de séries Taylor pour les dérivés et les intégrales, en mettant l'accent sur plusieurs dérivés et termes d'erreur.

Analyse I: Résumé

Couvre les nombres réels, les nombres complexes, les séquences numériques, les séries, les fonctions réelles, les limites de fonctions, les dérivés, les séries Taylor, les intégrales et les taux de croissance des fonctions.

Sommes de Riemann et intégrales définies

Couvre les sommes de Riemann, les intégrales définies, les séries de Taylor et les nombres complexes exponentiels.

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Série de Taylor

Primitive

Fonction lemniscatique

Fonction de Gudermann

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