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Séance de cours

Homomorphismes induits

Dans cours

MATH-323: Topology III - Homology

Homology is one of the most important tools to study topological spaces and it plays an important role in many fields of mathematics. The aim of this course is to introduce this notion, understand its properties and learn how to compute it. There will be m ...

Description

Cette séance de cours couvre le concept d'homomorphismes induits, d'invariance d'homotopie et de groupes d'homologie de quotients. Il explique comment définir les homomorphismes entre les groupes et les chaînes qui induisent les homomorphismes entre les groupes d'homologie.

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Enseignant·e

Leonid Monin

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Topologie: Topologie algébrique

Concepts associés (23)

Homologie singulière

En topologie algébrique, l'homologie singulière est une construction qui permet d'associer à un espace topologique X une suite homologique de groupes abéliens libres ou de modules. Cette association est un invariant topologique non complet, c'est-à-dire que si deux espaces sont homéomorphes alors ils ont mêmes groupes d'homologie singulière en chaque degré mais que la réciproque est fausse. Le théorème de Stokes appliqué à des formes fermées donne des intégrales nulles. Cependant, il se fonde sur une hypothèse cruciale de compacité.

Relative homology

In algebraic topology, a branch of mathematics, the (singular) homology of a topological space relative to a subspace is a construction in singular homology, for pairs of spaces. The relative homology is useful and important in several ways. Intuitively, it helps determine what part of an absolute homology group comes from which subspace. Given a subspace , one may form the short exact sequence where denotes the singular chains on the space X. The boundary map on descends to and therefore induces a boundary map on the quotient.

Homologie (mathématiques)

En mathématiques, l'homologie est une manière générale d'associer une séquence d'objets algébriques tels que des groupes abéliens ou des modules à d'autres objets mathématiques tels que des espaces topologiques. Les groupes d'homologie ont été définis à l'origine dans la topologie algébrique. Des constructions similaires sont disponibles dans beaucoup d'autres contextes, tels que l'algèbre abstraite, les groupes, les algèbres de Lie, la théorie de Galois et la géométrie algébrique.

Reduced homology

In mathematics, reduced homology is a minor modification made to homology theory in algebraic topology, motivated by the intuition that all of the homology groups of a single point should be equal to zero. This modification allows more concise statements to be made (as in Alexander duality) and eliminates many exceptional cases (as in the homology groups of spheres). If P is a single-point space, then with the usual definitions the integral homology group H0(P) is isomorphic to (an infinite cyclic group), while for i ≥ 1 we have Hi(P) = {0}.

Sphère d'homologie

En topologie algébrique, une sphère d'homologie (ou encore, sphère d'homologie entière) est une variété X de dimension n ≥ 1 qui a les mêmes groupes d'homologie que la n-sphère standard S, à savoir : H0(X,Z) = Z = Hn(X,Z) et Hi(X,Z) = {0} pour tout autre entier i. Une telle variété X est donc connexe, fermée (i.e. compacte et sans bord), orientable, et avec (à part b0 = 1) un seul nombre de Betti non nul : bn. Les sphères d'homologie rationnelle sont définies de façon analogue, avec l'homologie à coefficients rationnels.

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Séances de cours associées (32)

Homologie des surfaces de Riemann

Explore l'homologie des surfaces de Riemann, y compris l'homologie singulière et le standard n-simplex.

Cohomologie de groupe

Couvre le concept de cohomologie de groupe, se concentrant sur les complexes de chaîne, les complexes de cochain, les produits de tasse et les anneaux de groupe.

Cohomologie : produit croisé

Explore la cohomologie et le produit croisé, démontrant son application dans des actions de groupe comme la conjugaison.

Construction de bars : Groupes d'homologie et espace de classification

Couvre la méthode de construction des barres, les groupes d'homologie, la classification de l'espace, et la formule Hopf.

Théorie de l'homotopie des complexes de chaînes

Explore la théorie de l'homotopie des complexes de chaînes, y compris la construction d'objets de chemin et les fibrations.

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Homologie singulière

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Homologie (mathématiques)

Reduced homology

Sphère d'homologie

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