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Séance de cours

Théorèmes de Minkowski : treillis et volumes

Dans cours (2)

MATH-482: Number theory I.a - Algebraic number theory

Algebraic number theory is the study of the properties of solutions of polynomial equations with integral coefficients; Starting with concrete problems, we then introduce more general notions like algebraic number fields, algebraic integers, units, ideal c ...

MATH-317: Algebra V - Galois theory

Galois theory lies at the interface of Field Theory and Group Theory. It aims to describe the algebraic symmetries of fields. We will focus on Galois theory for finite field extensions and some applications. ...

Description

Cette séance de cours couvre les théorèmes de Minkowski liés aux réseaux et aux volumes, discutant des propriétés des sous-groupes discrets, des transformations de base et des calculs de volume. Il explique les concepts de (co)volumes, d'ensembles mesurables et les implications des comparaisons de volumes entre ensembles et réseaux.

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Enseignant·e·s (3)

Thomas Gerber

Donna Testerman

Philippe Michel

Ph. Michel's main research interest lie in the field of analytic number theory and range over a variety of techniques and methods which include: arithmetic geometry, exponential sums, sieve methods, automorphic forms and allied representations, L-functions and more recently ergodic theory. Ph. Michel is a former student of ENS Cachan and obtained his PhD in Universté Paris XI in 1995 under the guidance of E. Fouvry. From 1995 to 1998 he was maître de conférence at Universté Paris XI and full professor at Université Montpellier II until 2008 then when he joined EPFL. Ph. Michel was awarded the Peccot-Vimont prize, has been member of the Institut Universitaire de France and wa invited speaker at the 2006 International Congress of Mathematician.

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Concepts associés (32)

Non-measurable set

In mathematics, a non-measurable set is a set which cannot be assigned a meaningful "volume". The mathematical existence of such sets is construed to provide information about the notions of length, area and volume in formal set theory. In Zermelo–Fraenkel set theory, the axiom of choice entails that non-measurable subsets of exist. The notion of a non-measurable set has been a source of great controversy since its introduction. Historically, this led Borel and Kolmogorov to formulate probability theory on sets which are constrained to be measurable.

Fonction mesurable

Soient E et F des espaces mesurables munis de leurs tribus respectives E et F. Une fonction f : E → F est dite (E, F)-mesurable si la par f de la tribu F est incluse dans E, c'est-à-dire si : L'identité, la composée de deux fonctions mesurables, sont mesurables. Les fonctions mesurables fournissent donc à la classe des espaces mesurables une structure de catégorie. Si F est l'ensemble des réels et si F est sa tribu borélienne, on dira simplement que f est une fonction mesurable sur (E, E).

Compacité (mathématiques)

En topologie, on dit d'un espace qu'il est compact s'il est séparé et qu'il vérifie la propriété de Borel-Lebesgue. La condition de séparation est parfois omise et certains résultats demeurent vrais, comme le théorème des bornes généralisé ou le théorème de Tychonov. La compacité permet de faire passer certaines propriétés du local au global, c'est-à-dire qu'une propriété vraie au voisinage de chaque point devient valable de façon uniforme sur tout le compact.

Cardinal mesurable

En mathématiques, un cardinal mesurable est un cardinal sur lequel existe une mesure définie pour tout sous-ensemble. Cette propriété fait qu'un tel cardinal est un grand cardinal. Un cardinal mesurable est un cardinal non dénombrable κ tel qu'il existe une mesure μ non triviale, κ-additive, à valeurs dans , définie sur tous les sous-ensembles de κ ; μ est donc une application de l'ensemble des parties de κ vers telle que : Pour toute famille (avec α

Mesure de Lebesgue

La mesure de Lebesgue est une mesure qui étend le concept intuitif de volume à une très large classe de parties de l'espace. Comme l'a immédiatement perçu son inventeur, Henri Lebesgue, elle permet de bâtir une théorie de l'intégration très performante et fondamentale en analyse moderne : la théorie de l'intégrale de Lebesgue. Plusieurs constructions bien différentes de la mesure de Lebesgue sont connues. Chacune d'entre elles peut naturellement être prise pour définition ; dans le cadre d'un article où il faut toutes les évoquer, il est prudent de fournir en ouverture une définition plus unificatrice.

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Séances de cours associées (34)

Les bonnes actions et les quotients

Couvre les actions correctes des groupes sur les surfaces de Riemann et introduit des courbes algébriques via des racines carrées.

Lebesgue Integral: Définition et propriétés

Explore l'intégrale de Lebesgue, où fonctionne les partitions auto-sélectionnées, conduisant à des ensembles mesurables et des complexités non mesurables.

Structure locale des groupes compacts locaux totalement déconnectés I

Couvre la structure locale de groupes compacts locaux totalement déconnectés, explorant propriétés et applications.

Open Mapping Théorème

Explique le théorème de cartographie ouverte pour les cartes holomorphes entre les surfaces de Riemann.

Le théorème de Riesz-Kakutani

Explore la construction des mesures, en mettant l'accent sur les fonctions positives et leur connexion au théorème Riesz-Kakutani.

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Concepts associés (32)

Non-measurable set

Fonction mesurable

Compacité (mathématiques)

Cardinal mesurable

Mesure de Lebesgue

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