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Séance de cours

Deux définitions de l'action du groupe

Description

Cette séance de cours explore deux définitions de l'action de groupe, lorsqu'un groupe agit sur un ensemble au moyen d'une demande satisfaisant à des conditions spécifiques. La séance de cours se penche sur l'équivalence entre les deux définitions et le concept de bijection dans les homomorphismes de groupe.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre générale

Concepts associés (32)

Morphisme de groupes

Un morphisme de groupes ou homomorphisme de groupes est une application entre deux groupes qui respecte la structure de groupe. Plus précisément, c'est un morphisme de magmas d'un groupe dans un groupe , c'est-à-dire une application telle que et l'on en déduit alors que f(e) = e (où e et e désignent les neutres respectifs de G et G) et ∀x ∈ G f(x) = [f(x)]. donc ; en composant par l'inverse de , on obtient (autrement dit, un morphisme de groupes conserve l'idempotence, et l'élément neutre d'un groupe est son unique élément idempotent).

Homomorphism

In algebra, a homomorphism is a structure-preserving map between two algebraic structures of the same type (such as two groups, two rings, or two vector spaces). The word homomorphism comes from the Ancient Greek language: ὁμός () meaning "same" and μορφή () meaning "form" or "shape". However, the word was apparently introduced to mathematics due to a (mis)translation of German ähnlich meaning "similar" to ὁμός meaning "same". The term "homomorphism" appeared as early as 1892, when it was attributed to the German mathematician Felix Klein (1849–1925).

Théorème de factorisation

En mathématiques, le théorème de factorisation est un principe général qui permet de construire un morphisme d'une structure quotient dans un autre espace à partir d'un morphisme de vers , de façon à factoriser ce dernier par la surjection canonique de passage au quotient. Soit un ensemble muni d'une relation d'équivalence et la surjection canonique. L'unicité de g est immédiate et guide la preuve de son existence, dont voici plusieurs variantes : Preuve « naïve » : pour tout élément , on pose .

Relation d'équivalence

En mathématiques, une relation d'équivalence permet, dans un ensemble, de mettre en relation des éléments qui sont similaires par une certaine propriété. On pourra ainsi regrouper ces éléments par « paquets » d'éléments qui se ressemblent, définissant ainsi la notion de classe d'équivalence, pour enfin construire de nouveaux ensembles en « assimilant » les éléments similaires à un seul et même élément. On aboutit alors à la notion d'ensemble quotient. vignette|upright=1.5|Sur cet ensemble de huit exemplaires de livres, la relation « .

Module homomorphism

In algebra, a module homomorphism is a function between modules that preserves the module structures. Explicitly, if M and N are left modules over a ring R, then a function is called an R-module homomorphism or an R-linear map if for any x, y in M and r in R, In other words, f is a group homomorphism (for the underlying additive groups) that commutes with scalar multiplication. If M, N are right R-modules, then the second condition is replaced with The of the zero element under f is called the kernel of f.

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Séances de cours associées (34)

Classement des prorogations

Explore la classification des extensions dans la théorie de groupe, en mettant l'accent sur les extensions fractionnées et les produits semi-directs.

Homologie des surfaces de Riemann

Explore l'homologie des surfaces de Riemann, y compris l'homologie singulière et le standard n-simplex.

Groupes fondamentaux

Explore les groupes fondamentaux, les classes d'homotopie et les revêtements dans les variétés connectées.

Cohomologie : produit croisé

Explore la cohomologie et le produit croisé, démontrant son application dans des actions de groupe comme la conjugaison.

Fonctions de cartographie et surjections

Explore les fonctions cartographiques, les surjections, les fonctions injectives et surjectives et les fonctions bijectives.

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Concepts associés (32)

Morphisme de groupes

Homomorphism

Théorème de factorisation

Relation d'équivalence

Module homomorphism

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