Continuous functionIn mathematics, a continuous function is a function such that a continuous variation (that is a change without jump) of the argument induces a continuous variation of the value of the function. This means that there are no abrupt changes in value, known as discontinuities. More precisely, a function is continuous if arbitrarily small changes in its value can be assured by restricting to sufficiently small changes of its argument. A discontinuous function is a function that is .
Convergence uniformeLa convergence uniforme d'une suite de fonctions est une forme de convergence plus exigeante que la convergence simple. La convergence devient uniforme quand toutes les suites avancent vers leur limite respective avec une sorte de « mouvement d'ensemble ». Dans le cas de fonctions numériques d'une variable, la notion prend une forme d'« évidence » géométrique : le graphe de la fonction f se « rapproche » de celui de la limite. Soient X un ensemble, (Y, d) un espace métrique, et A un sous-ensemble de X.
Fonction continue nulle partEn mathématiques, une fonction nulle part continue, également appelée fonction discontinue partout, est une fonction qui n'est continue en aucun point de son domaine. Si f est une fonction définie sur les nombres réels à valeur dans les nombres réels, alors f est nulle part continue si pour chaque point x il existe un tel que pour chaque nous pouvons trouver un point y tel que et . Par conséquent, peu importe à quel point nous nous rapprochons d'un point fixé, il existe des points encore plus proches auxquels la fonction prend des valeurs qui ne sont pas proches.
Continuité uniformeEn topologie, la continuité uniforme (ou l'uniforme continuité) est une propriété plus forte que la continuité, et se définit dans les espaces métriques ou plus généralement les espaces uniformes. Contrairement à la continuité, la continuité uniforme n'est pas une notion « purement topologique » c'est-à-dire ne faisant intervenir que des ouverts : sa définition dépend de la distance ou de la structure uniforme. Le contexte typique de la définition de la continuité uniforme est celui des espaces métriques. N.
Compact convergenceIn mathematics compact convergence (or uniform convergence on compact sets) is a type of convergence that generalizes the idea of uniform convergence. It is associated with the compact-open topology. Let be a topological space and be a metric space. A sequence of functions is said to converge compactly as to some function if, for every compact set , uniformly on as . This means that for all compact , If and with their usual topologies, with , then converges compactly to the constant function with value 0, but not uniformly.
Convergence simpleEn mathématiques, la convergence simple ou ponctuelle est une notion de convergence dans un espace fonctionnel, c’est-à-dire dans un ensemble de fonctions entre deux espaces topologiques. C'est une définition peu exigeante : elle est plus facile à établir que d'autres formes de convergence, notamment la convergence uniforme. Le passage à la limite possède donc moins de propriétés : une suite de fonctions continues peut ainsi converger simplement vers une fonction qui ne l'est pas.
Limite (mathématiques élémentaires)La notion de limite est très intuitive malgré sa formulation abstraite. Pour les mathématiques élémentaires, il convient de distinguer une limite en un point réel fini (pour une fonction numérique) et une limite en ou (pour une fonction numérique ou une suite), ces deux cas apparemment différents pouvant être unifiés à travers la notion topologique de voisinage. Les limites servent (entre autres) à définir les notions fondamentales de continuité et de dérivabilité.
DérivabilitéUne fonction réelle d'une variable réelle est dérivable en un point a quand elle admet une dérivée finie en a, c'est-à-dire, intuitivement, quand elle peut être approchée de manière assez fine par une fonction affine au voisinage de a. Elle est dérivable sur un intervalle réel ouvert non vide si elle est dérivable en chaque point de cet intervalle. Elle est dérivable sur un intervalle réel fermé et borné (c'est-à-dire sur un segment réel) non réduit à un point si elle est dérivable sur l'intérieur de cet intervalle et dérivable à droite en sa borne gauche, et dérivable à gauche en sa borne droite.
Limite (mathématiques)En analyse mathématique, la notion de limite décrit l’approximation des valeurs d'une suite lorsque l'indice tend vers l’infini, ou d'une fonction lorsque la variable se rapproche d’un point (éventuellement infini) au bord du domaine de définition. Si une telle limite existe dans l’ensemble d’arrivée, on dit que la suite ou la fonction est convergente (au point étudié). Si ce n’est pas le cas, elle est divergente, comme dans le cas de suites et fonctions périodiques non constantes (telle la fonction sinus en +∞).
Limite supérieure et limite inférieurevignette|upright=1.8|Exemple de recherche de limites inférieure et supérieure. La suite (x) est représentée en bleu. En mathématiques, plus précisément en analyse réelle, les limites inférieures et supérieures sont des outils d'étude des suites de nombres réels. Une telle suite n'est en général ni monotone, ni convergente. L'introduction des limites supérieure et inférieure permet de retrouver, partiellement, de telles propriétés. Il s'agit d'un cas particulier de valeurs d'adhérence de la suite.
Continuous functions on a compact Hausdorff spaceIn mathematical analysis, and especially functional analysis, a fundamental role is played by the space of continuous functions on a compact Hausdorff space with values in the real or complex numbers. This space, denoted by is a vector space with respect to the pointwise addition of functions and scalar multiplication by constants. It is, moreover, a normed space with norm defined by the uniform norm. The uniform norm defines the topology of uniform convergence of functions on The space is a Banach algebra with respect to this norm.
Limit setIn mathematics, especially in the study of dynamical systems, a limit set is the state a dynamical system reaches after an infinite amount of time has passed, by either going forward or backwards in time. Limit sets are important because they can be used to understand the long term behavior of a dynamical system. A system that has reached its limiting set is said to be at equilibrium.
One-sided limitIn calculus, a one-sided limit refers to either one of the two limits of a function of a real variable as approaches a specified point either from the left or from the right. The limit as decreases in value approaching ( approaches "from the right" or "from above") can be denoted: The limit as increases in value approaching ( approaches "from the left" or "from below") can be denoted: If the limit of as approaches exists then the limits from the left and from the right both exist and are equal.
Théorème de convergence monotoneEn mathématiques, le théorème de convergence monotone (ou théorème de Beppo Levi) est un résultat de la théorie de l'intégration de Lebesgue. Il permet de démontrer le lemme de Fatou et le théorème de convergence dominée. Ce théorème indique que pour une suite croissante de fonctions mesurables positives on a toujours la convergence de la suite de leurs intégrales vers l'intégrale de la limite simple. Le théorème autorise donc, pour une telle suite de fonctions, à intervertir les symboles et .
ThéorèmeEn mathématiques et en logique, un théorème (du grec théorêma, objet digne d'étude) est une assertion qui est démontrée, c'est-à-dire établie comme vraie à partir d'autres assertions déjà démontrées (théorèmes ou autres formes d'assertions) ou des assertions acceptées comme vraies, appelées axiomes. Un théorème se démontre dans un système déductif et est une conséquence logique d'un système d'axiomes. En ce sens, il se distingue d'une loi scientifique, obtenue par l'expérimentation.
Convergence absolueEn mathématiques, une série numérique réelle ou complexe converge absolument si, par définition, la série des valeurs absolues (ou des modules) est convergente. Cette définition peut être étendue aux séries à valeurs dans un espace vectoriel normé et complet, soit un espace de Banach. Dans tous ces contextes, cette condition est suffisante pour assurer la convergence de la série elle-même. Par analogie, l'intégrale d'une fonction à valeurs réelles ou complexes converge absolument si, par définition, l'intégrale de la valeur absolue (ou du module) de la fonction est convergente (fonction dans L1).
Théorème de Pythagorethumb|right|alt=Triangle rectangle et relation algébrique entre les longueurs de ses côtés.|Relation entre les longueurs des côtés dans un triangle rectangle. Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui met en relation les longueurs des côtés dans un triangle rectangle. Il s'énonce fréquemment sous la forme suivante : Si un triangle est rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse (ou côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Théorèmes d'incomplétude de GödelLes théorèmes d'incomplétude de Gödel sont deux théorèmes célèbres de logique mathématique, publiés par Kurt Gödel en 1931 dans son article (« Sur les propositions formellement indécidables des Principia Mathematica et des systèmes apparentés »). Ils ont marqué un tournant dans l'histoire de la logique en apportant une réponse négative à la question de la démonstration de la cohérence des mathématiques posée plus de 20 ans auparavant par le programme de Hilbert.
Continuation (informatique)En informatique, la continuation d'un système est son futur, c'est-à-dire la suite des instructions qu'il lui reste à exécuter à un moment précis. C'est un point de vue pour décrire l'état de la machine. Dans certains langages de programmation, les continuations peuvent être manipulées explicitement en tant qu'objets du langage à part entière : on peut stocker la continuation courante dans une variable que l'on peut donc manipuler en tant que telle ; puis plus loin, on peut restaurer la continuation, ce qui a pour effet de dérouter l'exécution du programme actuel vers le futur que l'on avait enregistré.
Dernier théorème de FermatEn mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, le dernier théorème de Fermat, ou grand théorème de Fermat, ou depuis sa démonstration théorème de Fermat-Wiles, s'énonce comme suit : Énoncé par Pierre de Fermat d'une manière similaire dans une note marginale de son exemplaire d'un livre de Diophante, il a cependant attendu plus de trois siècles une preuve publiée et validée, établie par le mathématicien britannique Andrew Wiles en 1994.
