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Description

Cette séance de cours introduit des catégories concrètes, où les objets sont des ensembles avec une structure supplémentaire et les morphismes sont des fonctions définies en ce qui concerne cette structure. Par exemple, la catégorie Ens des ensembles avec des fonctions définies, la catégorie Gr des groupes avec des homomorphismes de groupe, la catégorie Ab des groupes abeliens avec des homomorphismes de groupe, et la catégorie Vectk des espaces vectoriels sur le champ k avec des transformations linéaires.

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Algèbre: Algèbre générale

Concepts associés (32)

Morphisme de groupes

Un morphisme de groupes ou homomorphisme de groupes est une application entre deux groupes qui respecte la structure de groupe. Plus précisément, c'est un morphisme de magmas d'un groupe dans un groupe , c'est-à-dire une application telle que et l'on en déduit alors que f(e) = e (où e et e désignent les neutres respectifs de G et G) et ∀x ∈ G f(x) = [f(x)]. donc ; en composant par l'inverse de , on obtient (autrement dit, un morphisme de groupes conserve l'idempotence, et l'élément neutre d'un groupe est son unique élément idempotent).

Homomorphism

In algebra, a homomorphism is a structure-preserving map between two algebraic structures of the same type (such as two groups, two rings, or two vector spaces). The word homomorphism comes from the Ancient Greek language: ὁμός () meaning "same" and μορφή () meaning "form" or "shape". However, the word was apparently introduced to mathematics due to a (mis)translation of German ähnlich meaning "similar" to ὁμός meaning "same". The term "homomorphism" appeared as early as 1892, when it was attributed to the German mathematician Felix Klein (1849–1925).

Catégorie des ensembles

En mathématiques, plus précisément en théorie des catégories, la catégorie des ensembles, notée Set ou Ens, est la catégorie dont les objets sont les ensembles, et dont les morphismes sont les applications d'un ensemble dans un autre. Sa définition est motivée par le fait qu'en théorie des ensembles usuelle, il n'existe pas d'« ensemble de tous les ensembles », car l'existence d'un tel objet résulterait en une contradiction logique : le paradoxe de Russell.

Groupe abélien

En mathématiques, plus précisément en algèbre, un groupe abélien (du nom de Niels Abel), ou groupe commutatif, est un groupe dont la loi de composition interne est commutative. Vu autrement, un groupe commutatif peut aussi être défini comme un module sur l'anneau commutatif des entiers relatifs ; l'étude des groupes abéliens apparaît alors comme un cas particulier de la théorie des modules. On sait classifier de façon simple et explicite les groupes abéliens de type fini à isomorphisme près, et en particulier décrire les groupes abéliens finis.

Catégorie concrète

En mathématiques, et plus précisément en théorie des catégories, une catégorie concrète sur une catégorie est un couple où est une catégorie et est un foncteur fidèle. Le foncteur est appelé le foncteur d'oubli et est appelée la catégorie base pour . Si n'est pas précisée, il est sous-entendu qu'il s'agit de la catégorie des ensembles . Dans ce cas, les objets de la catégorie sont des ensembles munis de certaines structures, et les morphismes de cette catégorie sont les morphismes entre ensembles munis de ces structures.

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Séances de cours associées (64)

Perspective catégorielle: Actions de groupe

Généralise les actions de groupe au-delà des ensembles, fournissant un cadre complet pour divers contextes mathématiques.

Introduction à la théorie des catégories: Catégories et exemples

Couvre des exemples de catégories telles que les ensembles, les groupes et les espaces vectoriels, en explorant la composition et la formation des produits.

Isométries et homomorphismes de groupe

Explore les isométries, les homomorphismes de groupe, les transformations linéaires et la génération de groupe par similitudes.

Homologie des surfaces de Riemann

Explore l'homologie des surfaces de Riemann, y compris l'homologie singulière et le standard n-simplex.

Groupes abéliens libres et homomorphismes

Explore les groupes abeliens libres, les homomorphismes et les séquences exactes dans le contexte de différentes catégories.

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Homomorphism

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Groupe abélien

Catégorie concrète

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