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Séance de cours

Groupes abéliens libres et homomorphismes

Description

Cette séance de cours couvre les concepts de groupes abeliens libres, les homomorphismes et les séquences exactes. Il traite de la relation entre les différentes catégories telles que Ens, Ab, Gr, Vect, k et Top. L'instructeur explique comment obtenir une présentation d'un groupe abelien en termes de groupes abeliens libres et explore le lien entre Hom et les sommes directes. Différents calculs impliquant Hom sont démontrés, fournissant une compréhension complète du sujet.

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Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre générale

Concepts associés (32)

Homomorphism

In algebra, a homomorphism is a structure-preserving map between two algebraic structures of the same type (such as two groups, two rings, or two vector spaces). The word homomorphism comes from the Ancient Greek language: ὁμός () meaning "same" and μορφή () meaning "form" or "shape". However, the word was apparently introduced to mathematics due to a (mis)translation of German ähnlich meaning "similar" to ὁμός meaning "same". The term "homomorphism" appeared as early as 1892, when it was attributed to the German mathematician Felix Klein (1849–1925).

Groupe abélien

En mathématiques, plus précisément en algèbre, un groupe abélien (du nom de Niels Abel), ou groupe commutatif, est un groupe dont la loi de composition interne est commutative. Vu autrement, un groupe commutatif peut aussi être défini comme un module sur l'anneau commutatif des entiers relatifs ; l'étude des groupes abéliens apparaît alors comme un cas particulier de la théorie des modules. On sait classifier de façon simple et explicite les groupes abéliens de type fini à isomorphisme près, et en particulier décrire les groupes abéliens finis.

Groupe abélien libre

En mathématiques, un groupe abélien libre est un groupe abélien qui possède une base, c'est-à-dire une partie B telle que tout élément du groupe s'écrive de façon unique comme combinaison linéaire à coefficients entiers (relatifs) d'éléments de B. Comme les espaces vectoriels, les groupes abéliens libres sont classifiés (à isomorphisme près) par leur rang, défini comme le cardinal d'une base, et tout sous-groupe d'un groupe abélien libre est lui-même abélien libre.

Torsion-free abelian group

In mathematics, specifically in abstract algebra, a torsion-free abelian group is an abelian group which has no non-trivial torsion elements; that is, a group in which the group operation is commutative and the identity element is the only element with finite order. While finitely generated abelian groups are completely classified, not much is known about infinitely generated abelian groups, even in the torsion-free countable case. Abelian group An abelian group is said to be torsion-free if no element other than the identity is of finite order.

Morphisme de groupes

Un morphisme de groupes ou homomorphisme de groupes est une application entre deux groupes qui respecte la structure de groupe. Plus précisément, c'est un morphisme de magmas d'un groupe dans un groupe , c'est-à-dire une application telle que et l'on en déduit alors que f(e) = e (où e et e désignent les neutres respectifs de G et G) et ∀x ∈ G f(x) = [f(x)]. donc ; en composant par l'inverse de , on obtient (autrement dit, un morphisme de groupes conserve l'idempotence, et l'élément neutre d'un groupe est son unique élément idempotent).

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Séances de cours associées (50)

Catégories de béton

Couvre les catégories de béton avec des ensembles et des structures, y compris Ens, Gr, Ab et Vectk.

Limites et limites en haut

Couvre les concepts de limites et de colimits dans la catégorie des espaces topologiques, en mettant l'accent sur la relation entre la colimit et les constructions limites et les adjonctions.

Séquences exactes: Torsion et divisibilité

Explore les séquences exactes des homomorphismes de groupe abelien et fournit des exemples.

Les poussoirs dans la théorie des groupes : Universal Properties Explained

Couvre la construction et les propriétés universelles des poussoirs en théorie des groupes.

Cohomologie de groupe

Couvre le concept de cohomologie de groupe, se concentrant sur les complexes de chaîne, les complexes de cochain, les produits de tasse et les anneaux de groupe.

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Concepts associés (32)

Homomorphism

Groupe abélien

Groupe abélien libre

Torsion-free abelian group

Morphisme de groupes

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