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Séance de cours

Factorisation dans les PID

Dans cours

MATH-468: Numerics for fluids, structures & electromagnetics

Cours donné en alternance tous les deux ans ...

Description

Cette séance de cours couvre la factorisation dans les principaux domaines idéaux (PID), où chaque idéal premier est maximal. Il explique le tuple unique d'entiers naturels associés à chaque idéal, la décomposition des idéaux premiers et les propriétés des éléments premiers. La séance de cours traite également de la divisibilité des éléments dans les PID et des facteurs premiers communs entre eux.

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Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre générale

Concepts associés (32)

Idéal

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre, un idéal est un sous-ensemble remarquable d'un anneau : c'est un sous-groupe du groupe additif de l'anneau qui est, de plus, stable par multiplication par les éléments de l'anneau. À certains égards, les idéaux s'apparentent donc aux sous-espaces vectoriels — qui sont des sous-groupes additifs stables par une multiplication externe ; à d'autres égards, ils se comportent comme les sous-groupes distingués — ce sont des sous-groupes additifs à partir desquels on peut construire une structure d'anneau quotient.

Idéal premier

En algèbre commutative, un idéal premier d'un anneau commutatif unitaire est un idéal tel que le quotient de l'anneau par cet idéal est un anneau intègre. Ce concept généralise la notion de nombre premier à des anneaux à la structure moins simple d'accès que l'anneau des entiers relatifs. Ils jouent un rôle particulièrement important en théorie algébrique des nombres. thumb|Richard Dedekind (1831-1916), formalisateur du concept d'idéal.

Nombre premier

vignette|Nombres naturels de zéro à cent. Les nombres premiers sont marqués en rouge. vignette|Le nombre 7 est premier car il admet exactement deux diviseurs positifs distincts. Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs. Ces deux diviseurs sont 1 et le nombre considéré, puisque tout nombre a pour diviseurs 1 et lui-même (comme le montre l’égalité n = 1 × n), les nombres premiers étant ceux qui ne possèdent pas d'autre diviseur.

Décomposition des idéaux premiers dans les extensions galoisiennes

En mathématiques, l'interaction entre le groupe de Galois G d'une extension galoisienne de corps de nombres L/K (ou de corps de nombres p-adiques, ou de corps de fonctions), et la manière dont les idéaux premiers de l'anneau O des entiers se décomposent sous forme de produits d'idéaux premiers de O, est à la base de nombreux développements fructueux en théorie algébrique des nombres. Le cas d'une extension non nécessairement galoisienne est traitée dans l'article « Décomposition des idéaux premiers ».

Minimal prime ideal

In mathematics, especially in commutative algebra, certain prime ideals called minimal prime ideals play an important role in understanding rings and modules. The notion of height and Krull's principal ideal theorem use minimal primes. A prime ideal P is said to be a minimal prime ideal over an ideal I if it is minimal among all prime ideals containing I. (Note: if I is a prime ideal, then I is the only minimal prime over it.) A prime ideal is said to be a minimal prime ideal if it is a minimal prime ideal over the zero ideal.

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Idéal : Polynômes et définitions

Explore les idéaux en K[X], y compris le PGCD, l'unicité, la coprimalité, et les théorèmes de Bézout et Gauss.

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Couvre les concepts fondamentaux de l'algèbre commutative, y compris les anneaux, les unités, les diviseurs zéro et les anneaux locaux.

Factorisation dans les principaux domaines idéaux Connectez-vous à Mediaspace pour regarder cette vidéo

Explore la factorisation dans les principaux domaines idéaux et les propriétés des nombres premiers.

Facteurs irréductibles et anneaux noéthériens Connectez-vous à Mediaspace pour regarder cette vidéo

Explore les facteurs irréductibles, les anneaux noéthériens, la stabilité idéale et la factorisation unique en anneaux.

Factorisation dans Dedekind Ring Connectez-vous à Mediaspace pour regarder cette vidéo

Explique la factorisation des idéaux dans un anneau de Dedekind en utilisant des idéaux premiers et couvre l'indice de ramification, les champs résiduels, le degré d'inertie et les propriétés des anneaux de Dedekind.

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Idéal

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