Théorie algébrique des nombresEn mathématiques, la théorie algébrique des nombres est la branche de la théorie des nombres utilisant des outils issus de l'algèbre. Son origine est l'étude des nombres entiers et particulièrement les équations diophantiennes. Pour en résoudre certaines, il est utile de considérer d'autres entiers, dits algébriques. Un exemple est donné par le théorème des deux carrés de Fermat utilisant les entiers de Gauss. Ces ensembles sont équipés de deux lois — une addition et une multiplication — qui vérifient les mêmes propriétés élémentaires que les entiers relatifs : on parle d'anneaux.
Théorie des nombresTraditionnellement, la théorie des nombres est une branche des mathématiques qui s'occupe des propriétés des nombres entiers (qu'ils soient entiers naturels ou entiers relatifs). Plus généralement, le champ d'étude de cette théorie concerne une large classe de problèmes qui proviennent naturellement de l'étude des entiers. La théorie des nombres occupe une place particulière en mathématiques, à la fois par ses connexions avec de nombreux autres domaines, et par la fascination qu'exercent ses théorèmes et ses problèmes ouverts, dont les énoncés sont souvent faciles à comprendre, même pour les non-mathématiciens.
Théorème des nombres premiersvignette|Une illustration du théorème des nombres premiers : en rouge, le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x ; en vert, une approximation utilisant ; en bleu, une approximation utilisant l'intégrale logarithmique . En mathématiques, et plus précisément en théorie analytique des nombres, le théorème des nombres premiers, démontré indépendamment par Hadamard et La Vallée Poussin en 1896, est un résultat concernant la distribution asymptotique des nombres premiers.
Théorie analytique des nombresdroite|vignette|La fonction zêta de Riemann ζ(s) dans le plan complexe. La couleur d'un point s code la valeur de ζ(s) : les couleurs proches du noir indiquent des valeurs proches de zéro, alors que la teinte code l'argument de la valeur. En mathématiques, la théorie analytique des nombres est une branche de la théorie des nombres qui utilise des méthodes d'analyse mathématique pour résoudre des problèmes concernant les nombres entiers.
Nombre premiervignette|Nombres naturels de zéro à cent. Les nombres premiers sont marqués en rouge. vignette|Le nombre 7 est premier car il admet exactement deux diviseurs positifs distincts. Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs. Ces deux diviseurs sont 1 et le nombre considéré, puisque tout nombre a pour diviseurs 1 et lui-même (comme le montre l’égalité n = 1 × n), les nombres premiers étant ceux qui ne possèdent pas d'autre diviseur.
Logarithmevignette|Tracés des fonctions logarithmes en base 2, e et 10. En mathématiques, le logarithme (de logos : rapport et arithmos : nombre) de base d'un nombre réel strictement positif est la puissance à laquelle il faut élever la base pour obtenir ce nombre. Dans le cas le plus simple, le logarithme compte le nombre d'occurrences du même facteur dans une multiplication répétée : comme 1000 = 10×10×10 = 10, le logarithme en base 10 de 1000 est 3. Le logarithme de en base est noté : . John Napier a développé les logarithmes au début du .
Série divergenteEn mathématiques, une série infinie est dite divergente si la suite de ses sommes partielles n'est pas convergente. En ce qui concerne les séries de nombres réels, ou de nombres complexes, une condition nécessaire de convergence est que le terme général de la série tende vers 0. Par contraposition, cela fournit de nombreux exemples de séries divergentes, par exemple celle dont tous les termes valent 1.
Logarithme naturelLe logarithme naturel ou logarithme népérien, ou encore logarithme hyperbolique jusqu'au , transforme, comme les autres fonctions logarithmes, les produits en sommes. L'utilisation de telles fonctions permet de faciliter les calculs comprenant de nombreuses multiplications, divisions et élévations à des puissances rationnelles. Il est souvent noté ln(). Le logarithme naturel ou népérien est dit de base e car ln(e) = 1. Le logarithme népérien d'un nombre x peut également être défini comme la puissance à laquelle il faut élever e pour obtenir x.
Sommation par partiesEn mathématiques, la formule de sommation par parties (parfois appelée transformation d'Abel ou sommation d'Abel) permet de transformer une somme d'un produit de suites finies en d'autres sommes, simplifiant souvent le calcul et permettant l'estimation de certains types de sommes. C'est un analogue discret de l'intégration par parties. Elle est à la base du critère d'Abel permettant d'obtenir la semi-convergence de certaines séries.
Logarithme décimalthumb|upright=2|Représentation graphique du logarithme décimal dans un repère orthogonal Le logarithme décimal ou log ou simplement log (parfois appelé logarithme vulgaire) est le logarithme de base dix. Il est défini pour tout réel strictement positif x. Le logarithme décimal est la fonction continue qui transforme un produit en somme et qui vaut 1 en 10. Le logarithme décimal est la fonction réciproque de la fonction : La norme ISO 80000-2 indique que log devrait être noté lg, mais cette notation est rarement utilisée.
Sommation de CesàroEn analyse, la sommation de Cesàro est un procédé de sommation permettant d'assigner une somme à certaines séries divergentes au sens usuel. Si la série est convergente au sens usuel, elle l'est également au sens de Cesàro et sa somme de Cesàro est égale à sa somme « classique ». En revanche, une série divergente peut avoir une somme de Cesàro bien définie. La sommation de Cesàro porte le nom de l'analyste italien Ernesto Cesàro (1859–1906), à cause de l’utilisation de ce qu'on appelle aujourd’hui le lemme de Cesàro.
Fonction de Tchebychevvignette|La fonction de Tchebychev ψ(x) pour x < 50 En mathématiques, la fonction de Tchebychev peut désigner deux fonctions utilisées en théorie des nombres. La première fonction de Tchebychev θ(x) ou θ(x) est donnée par où la somme est définie sur les nombres premiers p inférieurs ou égaux à x. La seconde fonction de Tchebychev ψ(x) est définie de façon similaire, la somme s'étendant aux puissances premières inférieures à x : où Λ désigne la fonction de von Mangoldt.
Postulat de BertrandEn mathématiques, le postulat de Bertrand affirme qu'entre un entier et son double, il existe toujours au moins un nombre premier. Plus précisément, l'énoncé usuel est le suivant : Le postulat de Bertrand est aussi connu sous le nom de théorème de Tchebychev, depuis que Pafnouti Tchebychev l’a démontré en 1850. L'énoncé usuel du postulat de Bertrand : 1. Pour tout entier , il existe un nombre premier tel que . est équivalent aux quatre suivants : 2. Pour tout entier , il existe un nombre premier tel que . 3.
Inégalité de Bienaymé-TchebychevEn théorie des probabilités, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, est une inégalité de concentration permettant de montrer qu'une variable aléatoire prendra avec une faible probabilité une valeur relativement lointaine de son espérance. Ce résultat s'applique dans des cas très divers, nécessitant la connaissance de peu de propriétés (seules l'espérance et la variance doivent être connues), et permet de démontrer la loi faible des grands nombres.
Logarithme complexeEn mathématiques, le logarithme complexe est une fonction généralisant la fonction logarithme naturel (définie sur ]0,+∞[) au domaine C* des nombres complexes non nuls. Plusieurs définitions sont possibles. Aucune ne permet de conserver, à la fois, l'univocité, la continuité et les propriétés algébriques de la fonction logarithme. Histoire des nombres complexes La question de savoir s'il est possible de prolonger le logarithme naturel (c'est-à-dire de le définir sur un ensemble plus grand que ]0,+∞[) s'est posée dès la seconde moitié du avec les développements en série des fonctions.
Mathématiquesthumb|upright|Raisonnement mathématique sur un tableau. Les mathématiques (ou la mathématique) sont un ensemble de connaissances abstraites résultant de raisonnements logiques appliqués à des objets divers tels que les ensembles mathématiques, les nombres, les formes, les structures, les transformations ; ainsi qu'aux relations et opérations mathématiques qui existent entre ces objets. Elles sont aussi le domaine de recherche développant ces connaissances, ainsi que la discipline qui les enseigne.
Théorème d'Euclide sur les nombres premiersEn arithmétique, le théorème d'Euclide sur les nombres premiers affirme qu'il existe une infinité de nombres premiers. Ce résultat est énoncé et démontré dans les Éléments d'Euclide, c'est la proposition 20 du livre IX. Il y prend cependant une forme différente : « les nombres premiers sont plus nombreux que n'importe quelle multitude de nombres premiers proposée », plus compatible avec la conception de l'infini de l'auteur. D'autres preuves ont ensuite été proposées, notamment par Euler.
Sommation de Ramanujanvignette|redresse=2|alt=Photographie noir et blanc d'un texte manuscrit, formant une démonstration mathématique.|Une sommation de Ramanujan, dans son premier cahier, montrant pourquoi la somme de tous les entiers est égale à -1/12. En analyse, la sommation de Ramanujan est une technique inventée par le mathématicien Srinivasa Ramanujan pour donner une valeur aux séries infinies divergentes.
Formules pour les nombres premiersEn mathématiques, la recherche de formules exactes donnant tous les nombres premiers, certaines familles de nombres premiers ou le nombre premier s'est généralement avérée vaine, ce qui a amené à se contenter de formules approchées. Cette page recense les principaux résultats obtenus. L'espoir d'obtenir une formule exacte et simple donnant le n-ième nombre premier p, ou le nombre π(n) de nombres premiers inférieurs ou égaux à n, s'est très tôt heurté à l'extrême irrégularité de leur répartition, ce qui a amené à se contenter d'objectifs moins ambitieux.
Pafnouti TchebychevPafnouti Lvovitch Tchebychev (en Пафнутий Львович Чебышёв), né le à Okatovo, près de Borovsk, et décédé le à Saint-Pétersbourg, est un mathématicien russe. Son nom a tout d'abord été transcrit en français Tchebychef et la forme Tchebycheff est aussi utilisée en français. Il est aussi transcrit Tschebyschef ou Tschebyscheff (formes allemandes), Chebyshov ou Chebyshev (formes anglo-saxonnes). Il est connu pour ses travaux dans les domaines des probabilités, des statistiques, et de la théorie des nombres.
