Concept

Postulat de Bertrand

En mathématiques, le postulat de Bertrand affirme qu'entre un entier et son double, il existe toujours au moins un nombre premier. Plus précisément, l'énoncé usuel est le suivant : Le postulat de Bertrand est aussi connu sous le nom de théorème de Tchebychev, depuis que Pafnouti Tchebychev l’a démontré en 1850. L'énoncé usuel du postulat de Bertrand :

Pour tout entier , il existe un nombre premier tel que . est équivalent aux quatre suivants :
Pour tout entier , il existe un nombre premier tel que .
Pour tout entier , , où est la fonction de compte des nombres premiers.
Pour tout indice , , où est la suite des nombres premiers.
Pour tout indice , , où est l’écart entre un nombre premier et le suivant. ainsi qu'aux variantes obtenues en remplaçant, dans les énoncés 1 à 3, « pour tout entier » par « pour tout réel ». Celui formulé par Joseph Bertrand et démontré par Pafnouti Tchebychev, était légèrement plus fort : Le « postulat » (un terme tel qu’hypothèse ou conjecture, moins généraux, serait plus approprié) est énoncé pour la première fois en 1845 par Joseph Bertrand dans une étude sur des groupes de permutations, après qu’il a vérifié sa validité pour tous les nombres inférieurs à 6 millions. C’est Pafnouti Tchebychev qui obtient, en 1850, la première démonstration : il utilise notamment un encadrement de la factorielle par des fonctions dérivées de la formule de Stirling ainsi que la fonction , où parcourt les nombres premiers inférieurs ou égaux à . Depuis lors, le postulat s'appelle aussi « théorème de Tchebychev » ou, plus rarement, « théorème de Bertrand-Tchebychev ». Edmund Landau, en 1909, dans son ouvrage de synthèse des connaissances de l’époque sur la répartition des nombres premiers, reprend pour l’essentiel la démonstration de Tchebychev. En 1919, Srinivasa Ramanujan donne du postulat de Bertrand une démonstration plus simple. En 1932, Paul Erdős, à l’occasion de sa première publication, à l’âge de 19 ans, publie une démonstration entièrement élémentaire dans laquelle il utilise les coefficients binomiaux (il démontrera aussi que pour n>5, il existe au moins deux nombres premiers compris entre n et 2n).

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Postulat_de_Bertrand

À propos de ce résultat

Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.

Séances de cours associées (4)

Abel Summation : Analyse des fonctions logarithmiques

Explore la formule de sommation d'Abel, le théorème de Chebyshev et les fonctions logarithmiques avec des exemples pratiques.

Somme d'Abel et théorie des nombres premiers

Introduit la formule de sommation d'Abel et son application dans l'établissement de diverses formulations équivalentes de la théorie des nombres premiers.

Modèles linéaires généralisés : régression avec réponses familiales exponentielles

Couvre la régression avec des réponses familiales exponentielles à l'aide de modèles linéaires généralisés.

Afficher plus

Publications associées (2)

Total Search Problems in ZPP

We initiate a systematic study of TFZPP, the class of total NP search problems solvable by polynomial time randomized algorithms. TFZPP contains a variety of important search problems such as Bertrand-Chebyshev (finding a prime between N and 2N), refuter problems for many circuit lower bounds, and Lossy-Code. The Lossy-Code problem has found prominence due to its fundamental connections to derandomization, catalytic computing, and the metamathematics of complexity theory, among other areas. While TFZPP coll

Schloss Dagstuhl- Leibniz-Zentrum fur Informatik GmbH, Dagstuhl Publishing2026

The Choreography of Geodesics in SOL

Marc Troyanov

We provide a self-contained geometric description of the geodesic flow in the threedimensional Lie group SOL, one of Thurston's eight model geometries. The geometry of geodesics is governed by a single invariant k ∈ [0, 1], its modulus. Generic geodesics spiral around an axis, with well-defined amplitude A(k), period T (k), and horizontal drift H(k). We characterize minimal geodesic segments and the cut locus, and obtain an asymptotic estimate showing that the distances between points at the same altitude g

arXiv2026

Graph Chat

Chattez avec Graph Search

Posez n’importe quelle question sur les cours, conférences, exercices, recherches, actualités, etc. de l’EPFL ou essayez les exemples de questions ci-dessous.

AVERTISSEMENT : Le chatbot Graph n'est pas programmé pour fournir des réponses explicites ou catégoriques à vos questions. Il transforme plutôt vos questions en demandes API qui sont distribuées aux différents services informatiques officiellement administrés par l'EPFL. Son but est uniquement de collecter et de recommander des références pertinentes à des contenus que vous pouvez explorer pour vous aider à répondre à vos questions.

Pour tout entier , il existe un nombre premier tel que . est équivalent aux quatre suivants :
Pour tout entier , il existe un nombre premier tel que .
Pour tout entier , , où est la fonction de compte des nombres premiers.
Pour tout indice , , où est la suite des nombres premiers.
Pour tout indice , , où est l’écart entre un nombre premier et le suivant. ainsi qu'aux variantes obtenues en remplaçant, dans les énoncés 1 à 3, « pour tout entier » par « pour tout réel ». Celui formulé par Joseph Bertrand et démontré par Pafnouti Tchebychev, était légèrement plus fort : Le « postulat » (un terme tel qu’hypothèse ou conjecture, moins généraux, serait plus approprié) est énoncé pour la première fois en 1845 par Joseph Bertrand dans une étude sur des groupes de permutations, après qu’il a vérifié sa validité pour tous les nombres inférieurs à 6 millions. C’est Pafnouti Tchebychev qui obtient, en 1850, la première démonstration : il utilise notamment un encadrement de la factorielle par des fonctions dérivées de la formule de Stirling ainsi que la fonction , où parcourt les nombres premiers inférieurs ou égaux à . Depuis lors, le postulat s'appelle aussi « théorème de Tchebychev » ou, plus rarement, « théorème de Bertrand-Tchebychev ». Edmund Landau, en 1909, dans son ouvrage de synthèse des connaissances de l’époque sur la répartition des nombres premiers, reprend pour l’essentiel la démonstration de Tchebychev. En 1919, Srinivasa Ramanujan donne du postulat de Bertrand une démonstration plus simple. En 1932, Paul Erdős, à l’occasion de sa première publication, à l’âge de 19 ans, publie une démonstration entièrement élémentaire dans laquelle il utilise les coefficients binomiaux (il démontrera aussi que pour n>5, il existe au moins deux nombres premiers compris entre n et 2n).

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Postulat_de_Bertrand

À propos de ce résultat

Séances de cours associées (4)

Abel Summation : Analyse des fonctions logarithmiques

Explore la formule de sommation d'Abel, le théorème de Chebyshev et les fonctions logarithmiques avec des exemples pratiques.

Somme d'Abel et théorie des nombres premiers

Introduit la formule de sommation d'Abel et son application dans l'établissement de diverses formulations équivalentes de la théorie des nombres premiers.

Modèles linéaires généralisés : régression avec réponses familiales exponentielles

Couvre la régression avec des réponses familiales exponentielles à l'aide de modèles linéaires généralisés.

Afficher plus

Publications associées (2)

Total Search Problems in ZPP

Schloss Dagstuhl- Leibniz-Zentrum fur Informatik GmbH, Dagstuhl Publishing2026

The Choreography of Geodesics in SOL

Marc Troyanov

arXiv2026

Concepts associés (6)

Théorème d'Euclide sur les nombres premiers

En arithmétique, le théorème d'Euclide sur les nombres premiers affirme qu'il existe une infinité de nombres premiers. Ce résultat est énoncé et démontré dans les Éléments d'Euclide, c'est la proposition 20 du livre IX. Il y prend cependant une forme différente : « les nombres premiers sont plus nombreux que n'importe quelle multitude de nombres premiers proposée », plus compatible avec la conception de l'infini de l'auteur. D'autres preuves ont ensuite été proposées, notamment par Euler.

Fonction de compte des nombres premiers

En mathématiques, la fonction de compte des nombres premiers est la fonction comptant le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à un nombre réel x. Elle est notée π(x) (à ne pas confondre avec la constante π). L’image ci-contre illustre la fonction π(n) pour les valeurs entières de la variable. Elle met en évidence les augmentations de 1 que la fonction subit à chaque fois que x est égal à un nombre premier. Soit l'ensemble des nombres premiers et un nombre réel.

Fonction de Tchebychev

vignette|La fonction de Tchebychev ψ(x) pour x < 50 En mathématiques, la fonction de Tchebychev peut désigner deux fonctions utilisées en théorie des nombres. La première fonction de Tchebychev θ(x) ou θ(x) est donnée par où la somme est définie sur les nombres premiers p inférieurs ou égaux à x. La seconde fonction de Tchebychev ψ(x) est définie de façon similaire, la somme s'étendant aux puissances premières inférieures à x : où Λ désigne la fonction de von Mangoldt.

Afficher plus