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Séance de cours

Équations différentielles ordinaires : stabilité et contrôle

Dans cours

MATH-251(a): Numerical analysis

This course presents numerical methods to solve mathematical problems such as systems of linear and nonlinear equations, function approximation, integration and differentiation, and differential equations. ...

Description

Cette séance de cours couvre les conditions de stabilité et le contrôle adaptatif du pas de temps pour les équations différentielles ordinaires. Les sujets abordés incluent les conditions de stabilité pour différentes méthodes, telles que Forward Euler et Backward Euler, les techniques de preuve et les stratégies de contrôle des erreurs.

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Enseignant·e·s (4)

Pablo Antolin Sanchez

Fabio Nobile

Espen Sande

Daniel Kressner

Source officielle

Concepts associés (32)

Numerical methods for ordinary differential equations

Numerical methods for ordinary differential equations are methods used to find numerical approximations to the solutions of ordinary differential equations (ODEs). Their use is also known as "numerical integration", although this term can also refer to the computation of integrals. Many differential equations cannot be solved exactly. For practical purposes, however – such as in engineering – a numeric approximation to the solution is often sufficient. The algorithms studied here can be used to compute such an approximation.

Méthode d'Euler

En mathématiques, la méthode d'Euler, nommée ainsi en l'honneur du mathématicien Leonhard Euler (1707 — 1783), est une procédure numérique pour résoudre par approximation des équations différentielles du premier ordre avec une condition initiale. C'est la plus simple des méthodes de résolution numérique des équations différentielles. thumb|Illustration de la méthode d'Euler explicite : l'avancée se fait par approximation sur la tangente au point initial.

Équation différentielle ordinaire

En mathématiques, une équation différentielle ordinaire (parfois simplement appelée équation différentielle et abrégée en EDO) est une équation différentielle dont la ou les fonctions inconnues ne dépendent que d'une seule variable; elle se présente sous la forme d'une relation entre ces fonctions inconnues et leurs dérivées successives. Le terme ordinaire est utilisé par opposition au terme équation différentielle partielle (plus communément équation aux dérivées partielles, ou EDP) où la ou les fonctions inconnues peuvent dépendre de plusieurs variables.

Formulation implicite ou explicite d'un problème de dynamique

En simulation numérique, un problème dépendant du temps peut être formulé de manière implicite ou explicite. Un problème dépendant du temps décrit une situation qui évolue ; le système est modélisé à différents instants t discrets appelés « pas de temps ». La méthode explicite consiste à déterminer la solution à t + Δt en fonction de la valeur de la fonction en t. Si la fonction à évaluer s'appelle y(t), alors le problème se formule de la manière suivante : y(t + Δt) = F(y(t)). La méthode d'Euler est une méthode explicite.

Équation différentielle linéaire

Une équation différentielle linéaire est un cas particulier d'équation différentielle pour lequel on peut appliquer des procédés de superposition de solutions, et exploiter des résultats d'algèbre linéaire. De nombreuses équations différentielles de la physique vérifient la propriété de linéarité. De plus, les équations différentielles linéaires apparaissent naturellement en perturbant une équation différentielle (non linéaire) autour d'une de ses solutions.

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Méthodes stabilisées explicites : applications aux problèmes inverses bayésiens

Explore explicitement les méthodes de Runge-Kutta stabilisées et leur application aux problèmes inverses bayésiens, couvrant l'optimisation, l'échantillonnage et les expériences numériques.

Méthodes multi-étapes

Couvre les méthodes multi-étapes pour résoudre les équations différentielles, en se concentrant sur les conditions de stabilité et des exemples.

Régime implicite d'Euler

Explique le schéma implicite d'Euler, une méthode de résolution numérique des équations différentielles, axée sur les propriétés de stabilité et de convergence.

Équations différentielles ordinaires: méthodes et précision

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