Séance de cours

Métriques et gradients de Riemannian: gradients de calcul à partir d'extensions

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Dans cours

MATH-512: Optimization on manifolds

We develop, analyze and implement numerical algorithms to solve optimization problems of the form min f(x) where x is a point on a smooth manifold. To this end, we first study differential and Riemannian geometry (with a focus dictated by computational con ...

Description

Cette séance de cours couvre le calcul des gradients sur les collecteurs Riemanniens, en se concentrant sur le calcul des gradients à travers les extensions et les rétractations. Il traite de la relation entre les gradients sur les sous-manifolds de Riemann et les espaces euclidiens, en mettant l'accent sur l'utilisation des projecteurs orthogonaux dans les espaces tangents. La séance de cours fournit des exemples de multiples et de sphères ouvertes dans les espaces euclidiens, illustrant les propriétés d'extension et de projection en douceur. Les concepts clés comprennent le repli des gradients, les extensions lisses, les projecteurs orthogonaux et l'auto-articulation des projecteurs.

Dans MOOC

Introduction à l'optimisation sur des manifolds lisses : méthodes du premier ordre

L'optimisation sur les manifolds est le résultat de la fusion de la géométrie lisse et de l'optimisation dans un cadre moderne et élégant. Nous commençons le cours par "Qu'est-ce qu'un collecteur ?", et nous donnons aux étudiants une solide compréhension des sous-manifolds intégrés dans l'espace réel. Cela couvre de nombreuses applications en ingénierie et en sciences. Toutes les définitions et tous les théorèmes sont motivés pour construire des algorithmes d'optimisation qui ont fait leurs preuves. Les m

Enseignant·e

Nicolas Boumal

Enseignement et PhD Doctorant·es actuel·les Andreea-Alexandra Musat A dirigé les thèses EPFL de Christopher Criscitiello, Quentin Rebjock Cours Algèbre linéaire MATH-111(e) L'objectif du cours est d'introduire les notions de base de l'algèbre linéaire et ses applications. Continuous optimization MATH-329 This course introduces students to continuous, nonlinear optimization. We study the theory of optimization with continuous variables (with full proofs), and we analyze and

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Géométrie: Géométrie différentielle

Concepts associés (32)

Curvature of Riemannian manifolds

In mathematics, specifically differential geometry, the infinitesimal geometry of Riemannian manifolds with dimension greater than 2 is too complicated to be described by a single number at a given point. Riemann introduced an abstract and rigorous way to define curvature for these manifolds, now known as the Riemann curvature tensor. Similar notions have found applications everywhere in differential geometry of surfaces and other objects. The curvature of a pseudo-Riemannian manifold can be expressed in the same way with only slight modifications.

Variété riemannienne

En mathématiques, et plus précisément en géométrie, la variété riemannienne est l'objet de base étudié en géométrie riemannienne. Il s'agit d'une variété, c'est-à-dire un espace courbe généralisant les courbes (de dimension 1) ou les surfaces (de dimension 2) à une dimension n quelconque, et sur laquelle il est possible d'effectuer des calculs de longueur. En termes techniques, une variété riemannienne est une variété différentielle munie d'une structure supplémentaire appelée métrique riemannienne permettant de calculer le produit scalaire de deux vecteurs tangents à la variété en un même point.

Variété pseudo-riemannienne

La géométrie pseudo-riemannienne est une extension de la géométrie riemannienne ; au même titre que, en algèbre bilinéaire, l'étude des formes bilinéaires symétriques généralisent les considérations sur les métriques euclidiennes. Cependant, cette géométrie présente des aspects non intuitifs des plus surprenants. Une métrique pseudo-riemannienne sur une variété différentielle M de dimension n est une famille g= de formes bilinéaires symétriques non dégénérées sur les espaces tangents de signature constante (p,q).

Espace tangent

L'espace tangent en un point p d'une variété différentielle M est un espace vectoriel qui intuitivement est l'ensemble de tous les vecteurs-vitesse possibles d'un « mobile » se déplaçant (sans pouvoir la quitter) dans la variété M quand il est en p. Une façon commune en physique de décrire l'espace tangent est de dire que les vecteurs qu'il contient représentent les différences entre ce point et des points de la variété infiniment proches du premier.

Géométrie riemannienne

vignette|275px|L'étude de la forme de l'univers est une adaptation des idées et méthodes de la géométrie riemannienne La géométrie riemannienne est une branche de la géométrie différentielle nommée en l'honneur du mathématicien Bernhard Riemann, qui introduisit les concepts fondateurs de variété géométrique et de courbure. Il s'agit de surfaces ou d'objets de plus grande dimension sur lesquels existent des notions d'angle et de longueur, généralisant la géométrie traditionnelle qui se limitait à l'espace euclidien.

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Séances de cours associées (64)

Mains allumées avec Manopt: Optimisation sur Manifolds MOOC: Introduction à l'optimisation sur des manifolds lisses : méthodes du premier ordre

Introduit Manopt, une boîte à outils pour l'optimisation sur les collecteurs lisses avec une structure Riemannienne, couvrant les fonctions de coûts, différents types de collecteurs, et principes d'optimisation.

Métriques et gradients de Riemannian: Exemples et sous-manifolds de Riemannian MOOC: Introduction à l'optimisation sur des manifolds lisses : méthodes du premier ordre

Explore les métriques de Riemannian sur les collecteurs et le concept de sous-manifolds de Riemannian dans les espaces euclidiens.

Manifolds et Tangent Space

Introduit des collecteurs, des cartes, des atlas, de l'espace tangent, des tenseurs, et la métrique dans des espaces incurvés.

Espaces tangents aux sous-manifolds MOOC: Introduction à l'optimisation sur des manifolds lisses : méthodes du premier ordre

Introduit des espaces tangents aux sous-manifolds et leurs propriétés dans l'optimisation sur les collecteurs.

Riemannian connexions: ce qu'ils sont et pourquoi nous nous soucions

Couvre les connexions Riemannian, en mettant l'accent sur leurs propriétés et leur signification en géométrie.

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