Surface de RiemannEn géométrie différentielle et géométrie analytique complexe, une surface de Riemann est une variété complexe de dimension 1. Cette notion a été introduite par Bernhard Riemann pour prendre en compte les singularités et les complications topologiques qui accompagnent certains prolongements analytiques de fonctions holomorphes. Par oubli de structure, une surface de Riemann se présente comme une variété différentielle réelle de dimension 2, d'où le nom surface. Elles ont été nommées en hommage au mathématicien allemand Bernhard Riemann.
Théorème de l'application conformeEn mathématiques, et plus précisément en analyse complexe, le théorème de l'application conforme, dû à Bernhard Riemann, assure que toutes les parties ouvertes simplement connexes du plan complexe qui ne sont ni vides ni égales au plan tout entier sont conformes entre elles. Le théorème fut énoncé (sous l'hypothèse plus forte d'une frontière formés d'arcs différentiables) par Bernhard Riemann dans sa thèse, en 1851.
Courbe modulaireEn théorie des nombres et en géométrie algébrique une courbe modulaire désigne la surface de Riemann, ou la courbe algébrique correspondante, construite comme quotient du demi-plan de Poincaré H sous l'action de certains sous-groupes Γ d'indice fini dans le groupe modulaire. La courbe obtenue est généralement notée Y(Γ). On appelle Γ le niveau de la courbe Y(Γ). Depuis Gorō Shimura, on sait que ces courbes admettent des équations à coefficients dans un corps cyclotomique, qui dépend du niveau Γ.
Groupe modulaireEn mathématiques, on appelle groupe modulaire le groupe PSL(2, Z), quotient du groupe spécial linéaire SL(2, Z) par son centre { Id, –Id }. Il s'identifie à l'image de SL(2, Z) dans le groupe de Lie On le note souvent Γ(1) ou simplement Γ. Ce nom provient de l'action à gauche et fidèle de Γ(1) par homographies sur le demi-plan de Poincaré H des nombres complexes de partie imaginaire strictement positive. Cette action n'est que la restriction de l'action de PGL(2, C) sur la droite projective complexe P(C) = C ∪ {∞} : la matrice agit sur P(C) par la transformation de Möbius qui en envoie z sur .
Bernhard RiemannGeorg Friedrich Bernhard Riemann, né le à Breselenz, royaume de Hanovre, mort le à Selasca, hameau de la commune de Verbania, royaume d'Italie, est un mathématicien allemand. Influent sur le plan théorique, il a apporté de nombreuses contributions importantes à la topologie, l'analyse, la géométrie différentielle et au calcul, certaines d'entre elles ayant permis par la suite le développement de la relativité générale. Bernhard Riemann est né à Breselenz, un village du royaume de Hanovre.
Forme modulaireEn mathématiques, une forme modulaire est une fonction analytique sur le demi-plan de Poincaré satisfaisant à une certaine sorte d'équation fonctionnelle et de condition de croissance. La théorie des formes modulaires est par conséquent dans la lignée de l'analyse complexe mais l'importance principale de la théorie tient dans ses connexions avec le théorème de modularité et la théorie des nombres.
Classical modular curveIn number theory, the classical modular curve is an irreducible plane algebraic curve given by an equation Φn(x, y) = 0, such that (x, y) = (j(nτ), j(τ)) is a point on the curve. Here j(τ) denotes the j-invariant. The curve is sometimes called X0(n), though often that notation is used for the abstract algebraic curve for which there exist various models. A related object is the classical modular polynomial, a polynomial in one variable defined as Φn(x, x).
Holomorphic vector bundleIn mathematics, a holomorphic vector bundle is a complex vector bundle over a complex manifold X such that the total space E is a complex manifold and the projection map π : E → X is holomorphic. Fundamental examples are the holomorphic tangent bundle of a complex manifold, and its dual, the holomorphic cotangent bundle. A holomorphic line bundle is a rank one holomorphic vector bundle. By Serre's GAGA, the category of holomorphic vector bundles on a smooth complex projective variety X (viewed as a complex manifold) is equivalent to the category of algebraic vector bundles (i.
Sphère de RiemannEn mathématiques, la sphère de Riemann est une manière de prolonger le plan des nombres complexes avec un point additionnel à l'infini, de manière que certaines expressions mathématiques deviennent convergentes et élégantes, du moins dans certains contextes. Déjà envisagée par le mathématicien Carl Friedrich Gauss, elle est baptisée du nom de son élève Bernhard Riemann. Ce plan s'appelle également la droite projective complexe, dénoté .
Fonction zêta de Riemannvignette|upright=2|La fonction zêta de Riemann ζ(s) dans le plan complexe. La couleur d'un point s code la valeur de ζ(s) : des couleurs vives indiquent des valeurs proches de 0 et la nuance indique l'argument de la valeur. Le point blanc pour s = 1 est le pôle ; les points noirs sur l'axe réel négatif (demi-droite horizontale) et sur la droite critique Re(s) = 1/2 (droite verticale) sont les zéros. vignette|upright=2|Carte des couleurs utilisées dans la figure du dessus.
Variété complexeLes variétés complexes ou plus généralement les sont les objets d'étude de la géométrie analytique complexe. Une variété complexe de dimension n est un espace topologique obtenu par recollement d'ouverts de Cn selon des biholomorphismes, c'est-à-dire des bijections holomorphes. Plus précisément, une variété complexe de dimension n est un espace topologique dénombrable à l'infini (c'est-à-dire localement compact et σ-compact) possédant un atlas de cartes sur Cn, tel que les applications de changement de cartes soient des biholomorphismes.
Moduli stack of elliptic curvesIn mathematics, the moduli stack of elliptic curves, denoted as or , is an algebraic stack over classifying elliptic curves. Note that it is a special case of the moduli stack of algebraic curves . In particular its points with values in some field correspond to elliptic curves over the field, and more generally morphisms from a scheme to it correspond to elliptic curves over . The construction of this space spans over a century because of the various generalizations of elliptic curves as the field has developed.
Théorème de modularitéLe théorème de modularité (auparavant appelé conjecture de Taniyama-Weil ou conjecture de Shimura-Taniyama-Weil ou conjecture de Shimura-Taniyama) énonce que, pour toute courbe elliptique sur Q, il existe une forme modulaire de poids 2 pour un Γ(N), ayant même fonction L que la courbe elliptique. Une grande partie de ce résultat, suffisante pour en déduire le dernier théorème de Fermat, a été démontrée par Andrew Wiles. S'inspirant de ses techniques, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond et Richard Taylor ont traité les cas restants en 1999.
BiholomorphismIn the mathematical theory of functions of one or more complex variables, and also in complex algebraic geometry, a biholomorphism or biholomorphic function is a bijective holomorphic function whose inverse is also holomorphic. Formally, a biholomorphic function is a function defined on an open subset U of the -dimensional complex space Cn with values in Cn which is holomorphic and one-to-one, such that its is an open set in Cn and the inverse is also holomorphic. More generally, U and V can be complex manifolds.
Hurwitz's automorphisms theoremIn mathematics, Hurwitz's automorphisms theorem bounds the order of the group of automorphisms, via orientation-preserving conformal mappings, of a compact Riemann surface of genus g > 1, stating that the number of such automorphisms cannot exceed 84(g − 1). A group for which the maximum is achieved is called a Hurwitz group, and the corresponding Riemann surface a Hurwitz surface. Because compact Riemann surfaces are synonymous with non-singular complex projective algebraic curves, a Hurwitz surface can also be called a Hurwitz curve.
Fonction zêta de Hurwitzvignette|Fonction zêta de Hurwitz En mathématiques, la fonction zêta de Hurwitz est une des nombreuses fonctions zêta. Elle est définie, pour toute valeur q du paramètre, nombre complexe de partie réelle strictement positive, par la série suivante, convergeant vers une fonction holomorphe sur le demi-plan des complexes s tels que Re(s) > 1 : Par prolongement analytique, s'étend en une fonction méromorphe sur le plan complexe, d'unique pôle s = 1. est la fonction zêta de Riemann. où Γ désigne la fonction Gamma.
Ramification (mathématiques)En mathématiques, la ramification est un terme géométrique utilisé au sens de embranchement extérieur, à la façon dont la fonction racine carrée, pour les nombres complexes, peut être vue lorsqu'on considère ses deux branches opposées. Il est aussi utilisé d'une perspective opposée (branches arrivant ensemble) comme lorsqu'un revêtement dégénère en un point de la base, avec effondrement en ce point des fibres de l'application. point de branchement En analyse complexe, le modèle de base peut être pris comme l'application dans le plan complexe, proche de z = 0.
Fonction holomorphevignette|Une grille et son image par f d'une fonction holomorphe. En analyse complexe, une fonction holomorphe est une fonction à valeurs complexes, définie et dérivable en tout point d'un sous-ensemble ouvert du plan complexe C. Cette condition est beaucoup plus forte que la dérivabilité réelle. Elle entraîne (via la théorie de Cauchy) que la fonction est analytique : elle est infiniment dérivable et est égale, au voisinage de tout point de l'ouvert, à la somme de sa série de Taylor.
Carathéodory's theorem (conformal mapping)In mathematics, Carathéodory's theorem is a theorem in complex analysis, named after Constantin Carathéodory, which extends the Riemann mapping theorem. The theorem, first proved in 1913, states that any conformal mapping sending the unit disk to some region in the complex plane bounded by a Jordan curve extends continuously to a homeomorphism from the unit circle onto the Jordan curve. The result is one of Carathéodory's results on prime ends and the boundary behaviour of univalent holomorphic functions.
Adolf HurwitzAdolf Hurwitz (né à Hildesheim le - mort à Zurich le ) est un mathématicien allemand qui est une des figures importantes des mathématiques de la seconde moitié du . Il fait ses études doctorales sous la direction de Felix Klein à Leipzig, soutenant sa thèse sur les fonctions elliptiques modulaires en 1881. En 1884, on lui offre un poste de professeur à Kœnigsberg ; il y rencontre le jeune David Hilbert, sur qui il exerce une grande influence. Il occupe en 1892 une chaire de mathématiques à l'École polytechnique fédérale de Zurich et y enseigne le reste de sa vie.
