Fonction holomorphe

vignette|Une grille et son image par f d'une fonction holomorphe. En analyse complexe, une fonction holomorphe est une fonction à valeurs complexes, définie et dérivable en tout point d'un sous-ensemble ouvert du plan complexe C. Cette condition est beaucoup plus forte que la dérivabilité réelle. Elle entraîne (via la théorie de Cauchy) que la fonction est analytique : elle est infiniment dérivable et est égale, au voisinage de tout point de l'ouvert, à la somme de sa série de Taylor. Un fait remarquable en découle : les notions de fonction analytique complexe et de fonction holomorphe coïncident. Pour cette raison, les fonctions holomorphes constituent le pilier central de l'analyse complexe. On remarquera que certains auteurs exigent de la fonction ainsi obtenue d'être continue. C'est en fait seulement un moyen de simplifier des démonstrations ; en effet, la définition présentée ici implique de toute façon sa continuité (en vertu du théorème de Morera). Toute fonction polynomiale à coefficients complexes est entière. Toute fonction rationnelle à coefficients complexes est holomorphe sur le complémentaire de l'ensemble de ses pôles (c'est-à-dire les zéros de son dénominateur, quand elle est écrite sous forme irréductible). Par exemple, la fonction inverse z ↦ 1/z est holomorphe sur C*. Soit ∑ a z une série entière à coefficients complexes de rayon de convergence non nul (fini ou non) ; on note D son disque de convergence.La fonction f de D dans C définie par f(z) = ∑ a z est holomorphe, et pour tout z ∈ D, f’(z) = ∑ na z.En fait, cette fonction est indéfiniment dérivable sur D. La fonction exponentielle est entière. Il en est de même des fonctions trigonométriques (qui peuvent être définies à partir de la fonction exponentielle au moyen des formules d'Euler) et des fonctions hyperboliques. alt=Représentation de la fonction logarithme complexe par coloration de régions.|vignette|Représentation de la fonction logarithme complexe par coloration de régions.