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Séance de cours

Sets et fonctions lisses: Graphiques et atlas

Dans cours

MATH-512: Optimization on manifolds

We develop, analyze and implement numerical algorithms to solve optimization problems of the form min f(x) where x is a point on a smooth manifold. To this end, we first study differential and Riemannian geometry (with a focus dictated by computational con ...

Description

Cette séance de cours introduit le concept de fonctions lisses sur des ensembles et définit des graphiques n-dimensionnels pour les collecteurs, explorant les critères de lissage et de compatibilité entre les graphiques. Il couvre également la définition d'un atlas pour un collecteur et le concept d'un collecteur comme un ensemble avec un atlas.

Enseignant·e

Nicolas Boumal

Source officielle

Concepts associés (23)

Smooth structure

In mathematics, a smooth structure on a manifold allows for an unambiguous notion of smooth function. In particular, a smooth structure allows one to perform mathematical analysis on the manifold. A smooth structure on a manifold is a collection of smoothly equivalent smooth atlases. Here, a smooth atlas for a topological manifold is an atlas for such that each transition function is a smooth map, and two smooth atlases for are smoothly equivalent provided their union is again a smooth atlas for This gives a natural equivalence relation on the set of smooth atlases.

Smoothness

In mathematical analysis, the smoothness of a function is a property measured by the number of continuous derivatives it has over some domain, called differentiability class. At the very minimum, a function could be considered smooth if it is differentiable everywhere (hence continuous). At the other end, it might also possess derivatives of all orders in its domain, in which case it is said to be infinitely differentiable and referred to as a C-infinity function (or function).

Variété (géométrie)

En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, la notion de variété peut être appréhendée intuitivement comme la généralisation de la classification qui établit qu'une courbe est une variété de dimension 1 et une surface est une variété de dimension 2. Une variété de dimension n, où n désigne un entier naturel, est un espace topologique localement euclidien, c'est-à-dire dans lequel tout point appartient à une région qui s'apparente à un tel espace.

Variété différentielle

En mathématiques, les variétés différentielles ou variétés différentiables sont les objets de base de la topologie différentielle et de la géométrie différentielle. Il s'agit de variétés, « espaces courbes » localement modelés sur l'espace euclidien de dimension n, sur lesquelles il est possible de généraliser une bonne part des opérations du calcul différentiel et intégral. Une variété différentielle se définit donc d'abord par la donnée d'une variété topologique, espace topologique localement homéomorphe à l'espace R.

Compatibilité ascendante et descendante

vignette|La Wii, qui a succédé à la Gamecube, est compatible avec cette dernière, ce qui en fait un exemple de compatibilité descendante. La rétrocompatibilité, ou compatibilité descendante, est la compatibilité d'un produit vis-à-vis de ses anciennes ou précédentes versions ; la compatibilité ascendante ou postcompatibilité est la compatibilité d'un produit vis-à-vis des versions plus récentes, voire encore en phase de conception.

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Séances de cours associées (32)

Formes différentielles sur les collecteurs

Introduit des formes différentielles sur les collecteurs, couvrant les faisceaux tangents et les appariements d'intersection.

Topologie des surfaces de Riemann

Couvre la topologie des surfaces de Riemann, en se concentrant sur l'orientation et l'orientabilité.

Champs vecteurs de rétractations et faisceaux tangents : faisceaux Tangent MOOC: Introduction à l'optimisation sur des manifolds lisses : méthodes du premier ordre

Couvre les rétractions, les faisceaux tangents et les sous-manifolds intégrés sur les collecteurs avec des preuves et des exemples.

Ensembles et fonctions lisses : Exemple - atlas pour un cercle

Couvre les ensembles lisses et fonctionne sur les collecteurs, avec un accent sur la construction d'un atlas pour un cercle.

Ensembles et fonctions lisses: Fonctions lisses, topologie et collecteurs

Explore les fonctions lisses sur les multiples, en mettant l'accent sur la continuité et les topologies de l'atlas.

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