Mediaspace scheduled maintenance: Aug 25, 2026 07:00 - 12:00 AM. During this time, videos will be temporarily unavailable. Check status updates.

Séance de cours

Quantités géométriques en courbes paramétrées

Dans cours

MATH-213: Differential geometry I - curves and surfaces

This course serves as an introduction to classical differential geometry, which studies the geometric properties of curves and surfaces in the Euclidean space. ...

Description

Cette séance de cours couvre le concept de courbes paramétrées, en se concentrant sur la régularité, le champ le long de la courbe et les quantités géométriques telles que le vecteur carbure et la courbure. L'instructeur explique comment paramétrer naturellement les courbes et la signification de ces quantités géométriques dans la compréhension du comportement des courbes dans l'espace.

Enseignant·e

Marc Troyanov

Doctorat en mathématiques à l'Université de Genève (1987) - Postdoc à Paris et Salt-Lake City, puis professeur assistant à l'UQAM (Montréal). Venu en 1993 à l'EPFL comme professeur assistant, nommé MER en 1999 puis professeur titulaire en 2005. Domaine de recherche : géométrie différentielle, analyse sur les variétés et sur les espaces métriques.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Géométrie: Géométrie différentielle

Concepts associés (32)

Courbure de Gauss

vignette|De gauche à droite : une surface de courbure de Gauss négative (un hyperboloïde), une surface de courbure nulle (un cylindre), et une surface de courbure positive (une sphère). vignette|Certains points du tore sont de courbure positive (points elliptiques) et d'autres de courbure négative (points hyperboliques) La courbure de Gauss, parfois aussi appelée courbure totale, d'une surface paramétrée X en X(P) est le produit des courbures principales. De manière équivalente, la courbure de Gauss est le déterminant de l'endomorphisme de Weingarten.

Tenseur de Ricci

Dans le cadre de la relativité générale, le champ de gravitation est interprété comme une déformation de l'espace-temps. Celle-ci est exprimée à l'aide du tenseur de Ricci. Le tenseur de Ricci est un champ tensoriel d'ordre 2, obtenu comme la trace du tenseur de courbure complet. On peut le considérer comme le laplacien du tenseur métrique riemannien dans le cas des variétés riemaniennes. Le tenseur de Ricci occupe une place importante notamment dans l'équation d'Einstein, équation principale de la relativité générale.

Courbure principale

En géométrie différentielle des surfaces, les deux courbures principales d'une surface sont les courbures de cette surface selon deux directions perpendiculaires appelées directions principales. On montre que ce sont les courbures minimale et maximale rencontrées en faisant tourner le plan de coupe. Les courbures principales sont les valeurs propres de l'endomorphisme de Weingarten. Elles caractérisent la géométrie locale des surfaces à l'ordre 2.

Curvature of Riemannian manifolds

In mathematics, specifically differential geometry, the infinitesimal geometry of Riemannian manifolds with dimension greater than 2 is too complicated to be described by a single number at a given point. Riemann introduced an abstract and rigorous way to define curvature for these manifolds, now known as the Riemann curvature tensor. Similar notions have found applications everywhere in differential geometry of surfaces and other objects. The curvature of a pseudo-Riemannian manifold can be expressed in the same way with only slight modifications.

Courbure

vignette|Le déplacement d'une Dictyostelium discoideum dont la couleur du contour est fonction de la courbure. Échelle : 5 μm ; durée : 22 secondes. Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de cet objet. Par exemple : dans le plan euclidien, une ligne droite est un objet à une dimension de courbure nulle et un cercle un objet de courbure constante positive, valant 1/R (inverse du rayon) ; dans l'espace euclidien usuel à trois dimensions, un plan est un objet à deux dimensions de courbure nulle, et une sphère est un objet à deux dimensions de courbure constante positive.

Afficher plus

Séances de cours associées (36)

Curvature gaussienne et géodésiques

Explore la dérivée des longueurs de courbe, des déformations à extrémité fixe, des géodésiques, des typologies de points de surface et de la paramétrisation de sphère.

Points de courbure et d'inflexion

Explore la courbure, les points d'inflexion et les fonctions angulaires dans les courbes planes, soulignant l'importance des points d'inflexion.

Courbes dans le plan orienté

Explore les courbes dans le plan orienté, en discutant de l'orientation, des espaces vectoriels, des relations d'équivalence et de la courbure des courbes régulières.

Weingarten Application de surfaces régulières

Couvre l'application de la carte Weingarten sur les surfaces régulières et l'opérateur de forme.

Courbes géodésiques : réduction de la distance et de la vitesse constante

Couvre les courbes géodésiques paramétrées à vitesse constante pour minimiser les distances entre les points.

Afficher plus

Concepts associés (32)

Courbure de Gauss

Tenseur de Ricci

Courbure principale

Curvature of Riemannian manifolds

Courbure

Afficher plus