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Dans cours

MATH-323: Topology III - Homology

Homology is one of the most important tools to study topological spaces and it plays an important role in many fields of mathematics. The aim of this course is to introduce this notion, understand its properties and learn how to compute it. There will be m ...

Description

Cette séance de cours explique la levée des chemins et des boucles sur les espaces de couverture, en mettant l'accent sur la relation entre le groupe fondamental de l'espace de couverture et le groupe fondamental de l'espace sous-jacent. Il couvre l'unicité des ascenseurs, la propriété de levage d'homotopie, et la propriété de levage de chemin, fournissant des aperçus dans l'injectivité des homomorphismes et l'image de l'homomorphisme. La séance de cours se termine par une preuve détaillée des propriétés discutées.

Enseignant·e

Leonid Monin

Enseignement et PhD Cours Algebra III - rings and fields MATH-215 C'est un cours introductoire dans la théorie d'anneau et de corps. Analyse I (anglais) MATH-101(en) Étudier les concepts fondamentaux d'analyse et le calcul différentiel et intégral des fonctions réelles d'une variable. Topology III - Homology MATH-323 L'homologie est l'un des outils les plus importants pour étudier les espaces topologiques et elle joue un rôle important dans de nombreux domaine

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Topologie: Topologie algébrique

Concepts associés (20)

Homotopie

En mathématiques, une homotopie est une déformation continue entre deux applications, notamment entre les chemins à extrémités fixées et en particulier les lacets. Cette notion topologique permet de définir des invariants algébriques utilisés pour classifier les applications continues entre espaces topologiques dans le cadre de la topologie algébrique. L’homotopie induit une relation d'équivalence sur les applications continues, compatible avec la composition, qui mène à la définition de l’équivalence d'homotopie entre espaces topologiques.

Propriété de relèvement des homotopies

En mathématiques, en particulier en théorie de l'homotopie en topologie algébrique, la propriété de relèvement des homotopies est une condition technique sur une fonction continue d'un espace topologique E dit total à un autre, B dit espace de base. Moralement, cette propriété énonce que toute homotopie dans l'espace de base se relève en une homotopie dans l'espace total E. Par exemple, un revêtement a une propriété de relèvement local unique des chemins vers un ouvert de la fibre donnée ; l'unicité est due au fait que les fibres d'un revêtement sont des espaces discrets.

Groupe d'homotopie

En mathématiques, et plus particulièrement en topologie algébrique, les groupes d'homotopie sont des invariants qui généralisent la notion de groupe fondamental aux dimensions supérieures. Il y a plusieurs définitions équivalentes possibles. Première définition Soit X un espace topologique et un point de X. Soit la boule unité de dimension i de l'espace euclidien . Son bord est la sphère unité de dimension . Le i-ième groupe d'homotopie supérieur est l'ensemble des classes d'homotopie relative à d'applications continues telle que : .

Théorie de l'homotopie

La théorie de l'homotopie est une branche des mathématiques issue de la topologie algébrique dans laquelle les espaces et applications sont considérés à homotopie près. La notion topologique de déformation est étendue à des contextes algébriques notamment via les structures de complexe différentiel puis d’algèbre A. Étant donné deux équivalences d’homotopie f : X′ → X et g : Y → Y′, l’ensemble des classes d'homotopie des applications continues entre X et Y s’identifie à celui des applications entre X′ et Y′ par composition avec f et g.

Revêtement (mathématiques)

En mathématiques, et plus particulièrement en topologie et en topologie algébrique, un revêtement d'un espace topologique B par un espace topologique E est une application continue et surjective p : E → B telle que tout point de B appartienne à un ouvert U tel que l' de U par p soit une union disjointe d'ouverts de E, chacun homéomorphe à U par p. Il s'agit donc d'un fibré à fibres discrètes. Les revêtements jouent un rôle pour calculer le groupe fondamental et les groupes d'homotopie d'un espace.

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Séances de cours associées (64)

Groupes fondamentaux

Explore les groupes fondamentaux, les classes d'homotopie et les revêtements dans les variétés connectées.

Homotopies et relations d'équivalence

Couvre les homotopies, le groupe fondamental et les relations d'équivalence dans les applications.

Topologie : Classification des surfaces et des groupes fondamentaux

Discute de la classification des surfaces et de leurs groupes fondamentaux en utilisant le théorème de Seifert-van Kampen et les présentations polygonales.

Attachement de cellule: grande cellule

Plonge dans l'attachement cellulaire, explorant ses implications pour différentes dimensions cellulaires.

Actions de groupe : quotients et homomorphismes

Discute des actions de groupe, des quotients et des homomorphismes, en mettant l'accent sur les implications pratiques pour divers groupes et la construction d'espaces projectifs complexes.

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Concepts associés (20)

Homotopie

Propriété de relèvement des homotopies

Groupe d'homotopie

Théorie de l'homotopie

Revêtement (mathématiques)

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