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Méthode d'élimination gaussienne

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Description

Cette séance de cours introduit la méthode d'élimination gaussienne pour résoudre les systèmes d'équations linéaires en effectuant des opérations de rangées élémentaires sur la matrice augmentée pour obtenir une matrice de rangée-échelon équivalente. La méthode consiste à définir une matrice comme une ligne-échelon si elle satisfait à des propriétés spécifiques. Des exemples sont fournis pour illustrer les matrices des rangées et des non rangées. L'algorithme pour l'élimination gaussienne est expliqué étape par étape, y compris l'échange des lignes, l'échelle des lignes, et la substitution du dos. La séance de cours se termine par des exemples montrant comment déterminer la solution générale des systèmes linéaires à l'aide de la méthode d'élimination gaussienne.

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Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre linéaire

Concepts associés (32)

Gaussian elimination

In mathematics, Gaussian elimination, also known as row reduction, is an algorithm for solving systems of linear equations. It consists of a sequence of operations performed on the corresponding matrix of coefficients. This method can also be used to compute the rank of a matrix, the determinant of a square matrix, and the inverse of an invertible matrix. The method is named after Carl Friedrich Gauss (1777–1855).

Matrice échelonnée

En algèbre linéaire, une matrice est dite échelonnée en lignes si le nombre de zéros précédant la première valeur non nulle d'une ligne augmente strictement ligne par ligne jusqu'à ce qu'il ne reste éventuellement plus que des zéros. Voici un exemple de matrice échelonnée (les désignent des coefficients quelconques, les des pivots, coefficients non nuls) : Une matrice échelonnée est dite matrice échelonnée réduite, ou matrice canonique en lignes, si les pivots valent 1 et si les autres coefficients dans les colonnes des pivots sont nuls.

Matrice élémentaire

Une matrice est dite élémentaire lorsqu'elle est obtenue en appliquant une seule opération élémentaire sur les lignes de la matrice identité. Les opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice sont les suivantes : permuter deux lignes entre elles ; ajouter un multiple d'une ligne à une autre ligne ; multiplier une ligne par un scalaire non nul. Un examen direct des trois types montre que toute matrice élémentaire est inversible et de transposée élémentaire.

Matrice (mathématiques)

thumb|upright=1.5 En mathématiques, les matrices sont des tableaux d'éléments (nombres, caractères) qui servent à interpréter en termes calculatoires, et donc opérationnels, les résultats théoriques de l'algèbre linéaire et même de l'algèbre bilinéaire. Toutes les disciplines étudiant des phénomènes linéaires utilisent les matrices. Quant aux phénomènes non linéaires, on en donne souvent des approximations linéaires, comme en optique géométrique avec les approximations de Gauss.

Espace colonne et espace des rangées

En algèbre linéaire, lespace colonne (aussi appelé espace des colonnes ou ) d'une matrice A est l'espace engendré par toutes les combinaisons linéaires de ses vecteurs colonne. L'espace colonne d'une matrice est l'image de lapplication linéaire correspondante. Soit un corps. L'espace colonne d'une matrice de taille à éléments dans est un sous-espace vectoriel de . La dimension d'un espace colonne est appelé le rang d'une matrice et est au plus égal au minimum de et . Une définition des matrices sur un anneau est également possible.

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Couvre les opérations matricielles, les définitions, les propriétés et les opérations vectorielles en Rn, essentielles pour comprendre les concepts d'algèbre linéaire.

Matrices de rangées et matrices de rangées réduites MOOC: Échauffement pour l'EPFL MOOC: Algèbre Linéaire (Partie 1)

Explique les matrices de rangées et de rangées réduites et leur rôle dans la simplification de la résolution du système.

Systèmes linéaires : matrices triangulaires

Se concentre sur la transformation de systèmes linéaires en matrices triangulaires pour simplifier le processus de recherche de solutions.

Équations linéaires : opérations élémentaires

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Démontre le processus étape par étape de résolution des équations linéaires en utilisant l'élimination gaussienne.

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