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Séance de cours

Hesse, symétrie et exemples : Sphère, Stiefel

Dans cours

MATH-512: Optimization on manifolds

We develop, analyze and implement numerical algorithms to solve optimization problems of the form min f(x) where x is a point on a smooth manifold. To this end, we first study differential and Riemannian geometry (with a focus dictated by computational con ...

Description

Cette séance de cours couvre la Hesse, la symétrie et des exemples liés aux champs vectoriels, aux fonctions, aux variétés et aux connexions. Il traite des propriétés des espaces linéaires, des connexions sur les collecteurs et de la connexion riemannienne. L'instructeur explique le concept de symétrie et de compatibilité avec la métrique, en fournissant des exemples et des cas spéciaux.

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Enseignant·e

Nicolas Boumal

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Géométrie: Géométrie différentielle

Concepts associés (32)

Variété pseudo-riemannienne

La géométrie pseudo-riemannienne est une extension de la géométrie riemannienne ; au même titre que, en algèbre bilinéaire, l'étude des formes bilinéaires symétriques généralisent les considérations sur les métriques euclidiennes. Cependant, cette géométrie présente des aspects non intuitifs des plus surprenants. Une métrique pseudo-riemannienne sur une variété différentielle M de dimension n est une famille g= de formes bilinéaires symétriques non dégénérées sur les espaces tangents de signature constante (p,q).

Variété (géométrie)

En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, la notion de variété peut être appréhendée intuitivement comme la généralisation de la classification qui établit qu'une courbe est une variété de dimension 1 et une surface est une variété de dimension 2. Une variété de dimension n, où n désigne un entier naturel, est un espace topologique localement euclidien, c'est-à-dire dans lequel tout point appartient à une région qui s'apparente à un tel espace.

Espace vectoriel

vignette|Dans un espace vectoriel, on peut additionner deux vecteurs. Par exemple, la somme du vecteur v (en bleu) et w (en rouge) est v + w. On peut aussi multiplier un vecteur, comme le vecteur w que l'on peut multiplier par 2, on obtient alors 2w et la somme devient v + 2w. En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble d'objets, appelés vecteurs, que l'on peut additionner entre eux, et que l'on peut multiplier par un scalaire (pour les étirer ou les rétrécir, les tourner, etc.

Metric connection

In mathematics, a metric connection is a connection in a vector bundle E equipped with a bundle metric; that is, a metric for which the inner product of any two vectors will remain the same when those vectors are parallel transported along any curve. This is equivalent to: A connection for which the covariant derivatives of the metric on E vanish. A principal connection on the bundle of orthonormal frames of E. A special case of a metric connection is a Riemannian connection; there is a unique such which is torsion free, the Levi-Civita connection.

Connexion de Levi-Civita

En géométrie riemannienne, la connexion de Levi-Civita est une connexion de Koszul naturellement définie sur toute variété riemannienne ou par extension sur toute variété pseudo-riemannienne. Ses propriétés caractérisent la variété riemannienne. Notamment, les géodésiques, courbes minimisant localement la distance riemannienne, sont exactement les courbes pour lesquelles le vecteur vitesse est parallèle. De plus, la courbure de la variété se définit à partir de cette connexion ; des conditions sur la courbure imposent des contraintes topologiques sur la variété.

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Séances de cours associées (56)

Riemannian connexions: ce qu'ils sont et pourquoi nous nous soucions

Couvre les connexions Riemannian, en mettant l'accent sur leurs propriétés et leur signification en géométrie.

Riemannian Hessians: Connexions et Symmétrie

Couvre les connexions sur les collecteurs, les connexions symétriques, les crochets Lie, et la compatibilité avec la métrique en géométrie Riemannienne.

Formes différentielles sur les collecteurs

Introduit des formes différentielles sur les collecteurs, couvrant les faisceaux tangents et les appariements d'intersection.

Connexions : Définition axiomatique

Explore les connexions sur les collecteurs, en mettant l'accent sur la définition axiomatique et les propriétés des dérivés dans les champs vectoriels de différenciation.

Comparaison des vecteurs Tangent: Transport parallèle

Explore la définition, l'existence et l'unicité du transport parallèle des vecteurs tangents sur les collecteurs.

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Concepts associés (32)

Variété pseudo-riemannienne

Variété (géométrie)

Espace vectoriel

Metric connection

Connexion de Levi-Civita

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