Séance de cours

Résoudre le système linéaire : méthodes itératives

Graph Chat

Chattez avec Graph Search

Posez n’importe quelle question sur les cours, conférences, exercices, recherches, actualités, etc. de l’EPFL ou essayez les exemples de questions ci-dessous.

AVERTISSEMENT : Le chatbot Graph n'est pas programmé pour fournir des réponses explicites ou catégoriques à vos questions. Il transforme plutôt vos questions en demandes API qui sont distribuées aux différents services informatiques officiellement administrés par l'EPFL. Son but est uniquement de collecter et de recommander des références pertinentes à des contenus que vous pouvez explorer pour vous aider à répondre à vos questions.

Dans cours

ME-474: Numerical flow simulation

This course provides practical experience in the numerical simulation of fluid flows. Numerical methods are presented in the framework of the finite volume method. A simple solver is developed with Matlab, and a commercial software is used for more complex ...

Description

Cette séance de cours couvre les méthodes itératives pour résoudre les systèmes linéaires, où des solutions approximatives sont construites pour le système réel. Il explique l'erreur et les vecteurs résiduels, les critères de convergence et les méthodes itératives ponctuelles comme Jacobi, Gauss-Seidel et la surdétente successive. La séance de cours explore également des exemples de diffusion régulière 1D, de méthodes multigrilles et du concept de combinaison d'itérations sur des maillages de différentes tailles pour améliorer la précision et le taux de convergence.

Cette vidéo est disponible exclusivement sur Mediaspace pour un public restreint. Veuillez vous connecter à Mediaspace pour y accéder si vous disposez des autorisations nécessaires.

Regarder sur Mediaspace

Enseignant·e

Edouard Boujo

Source officielle

Concepts associés (11)

Méthode itérative

En analyse numérique, une méthode itérative est un procédé algorithmique utilisé pour résoudre un problème, par exemple la recherche d’une solution d’un système d'équations ou d’un problème d’optimisation. En débutant par le choix d’un point initial considéré comme une première ébauche de solution, la méthode procède par itérations au cours desquelles elle détermine une succession de solutions approximatives raffinées qui se rapprochent graduellement de la solution cherchée. Les points générés sont appelés des itérés.

Méthode de Jacobi

La méthode de Jacobi, due au mathématicien allemand Karl Jacobi, est une méthode itérative de résolution d'un système matriciel de la forme Ax = b. Pour cela, on utilise une suite x qui converge vers un point fixe x, solution du système d'équations linéaires. On cherche à construire, pour x donné, la suite x = F(x) avec . où est une matrice inversible. où F est une fonction affine. La matrice B = MN est alors appelée matrice de Jacobi.

Méthode de surrelaxation successive

En analyse numérique, la méthode de surrelaxation successive (en anglais : Successive Overrelaxation Method{', abrégée en SOR) est une variante de la méthode de Gauss-Seidel pour résoudre un système d'équations linéaires. La convergence de cet algorithme est généralement plus rapide. Une approche similaire peut être appliquée à bon nombre de méthodes itératives. Cette méthode a été découverte simultanément par et Stan Frankel en 1950 dans le but de résoudre automatiquement des systèmes linéaires avec des ordinateurs.

Matrix splitting

In the mathematical discipline of numerical linear algebra, a matrix splitting is an expression which represents a given matrix as a sum or difference of matrices. Many iterative methods (for example, for systems of differential equations) depend upon the direct solution of matrix equations involving matrices more general than tridiagonal matrices. These matrix equations can often be solved directly and efficiently when written as a matrix splitting. The technique was devised by Richard S. Varga in 1960.

Residual sum of squares

In statistics, the residual sum of squares (RSS), also known as the sum of squared residuals (SSR) or the sum of squared estimate of errors (SSE), is the sum of the squares of residuals (deviations predicted from actual empirical values of data). It is a measure of the discrepancy between the data and an estimation model, such as a linear regression. A small RSS indicates a tight fit of the model to the data. It is used as an optimality criterion in parameter selection and model selection.

Afficher plus

Séances de cours associées (37)

Résoudre le système linéaire - Nonlinéarité

Explore la résolution de systèmes linéaires et aborde la non-linéarité dans les simulations de flux numériques en utilisant des méthodes multigrilles et de linéarisation.

Construction matricielle et manipulation des fonctions

Couvre des conseils sur la construction matricielle et la manipulation de fonctions à l'aide de MATLAB.

Convergence des systèmes linéaires

Couvre les conditions nécessaires et suffisantes pour la convergence dans les systèmes itératifs linéaires.

Méthodes itératives : Jacobi, Gauss-Seidel, SOR

Explore les méthodes itératives de Jacobi, Gauss-Seidel et SOR pour résoudre efficacement les systèmes linéaires.

Méthode Jacobi : Conditions de convergence

Explore la méthode Jacobi pour les systèmes linéaires, en mettant l'accent sur les conditions de convergence et les propriétés matricielles.

Afficher plus

Concepts associés (11)

Méthode itérative

Méthode de Jacobi

Méthode de surrelaxation successive

Matrix splitting

Residual sum of squares

Afficher plus