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Séance de cours

Embedded Submanifolds: Sous-groupes intégrés

Dans cours

MATH-512: Optimization on manifolds

We develop, analyze and implement numerical algorithms to solve optimization problems of the form min f(x) where x is a point on a smooth manifold. To this end, we first study differential and Riemannian geometry (with a focus dictated by computational con ...

Description

Cette séance de cours introduit le concept de sous-groupes intégrés, en se concentrant sur la variété Stiefel et en définissant les fonctions. Il couvre les espaces tangents, les formes symplectiques et les rangs des opérateurs différentiels.

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Enseignant·e

Nicolas Boumal

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Géométrie: Géométrie différentielle

Concepts associés (32)

Variété différentielle

En mathématiques, les variétés différentielles ou variétés différentiables sont les objets de base de la topologie différentielle et de la géométrie différentielle. Il s'agit de variétés, « espaces courbes » localement modelés sur l'espace euclidien de dimension n, sur lesquelles il est possible de généraliser une bonne part des opérations du calcul différentiel et intégral. Une variété différentielle se définit donc d'abord par la donnée d'une variété topologique, espace topologique localement homéomorphe à l'espace R.

Ouvert (topologie)

En mathématiques et plus particulièrement en topologie générale, un ensemble ouvert, aussi appelé une partie ouverte ou, plus fréquemment, un ouvert, est un sous-ensemble d'un espace topologique qui ne contient aucun point de sa frontière. L'ouvert est l'élément de base d'un espace topologique. Il existe plusieurs définitions des ouverts suivant le type d'espace concerné. Nous reprenons ici la définition pour le cas le plus général à savoir celui des espaces topologiques.

Espace tangent

L'espace tangent en un point p d'une variété différentielle M est un espace vectoriel qui intuitivement est l'ensemble de tous les vecteurs-vitesse possibles d'un « mobile » se déplaçant (sans pouvoir la quitter) dans la variété M quand il est en p. Une façon commune en physique de décrire l'espace tangent est de dire que les vecteurs qu'il contient représentent les différences entre ce point et des points de la variété infiniment proches du premier.

Submanifold

In mathematics, a submanifold of a manifold M is a subset S which itself has the structure of a manifold, and for which the inclusion map S → M satisfies certain properties. There are different types of submanifolds depending on exactly which properties are required. Different authors often have different definitions. In the following we assume all manifolds are differentiable manifolds of class Cr for a fixed r ≥ 1, and all morphisms are differentiable of class Cr.

Espace vectoriel symplectique

En algèbre, un espace vectoriel est symplectique quand on le munit d'une forme symplectique, c'est-à-dire une forme bilinéaire alternée et non dégénérée. L'étude de ces espaces vectoriels présente quelques ressemblances avec l'étude des espaces préhilbertiens réels puisqu'on y définit également la notion d'orthogonalité. Mais il y a de fortes différences, ne serait-ce que parce que tout vecteur est orthogonal à lui-même. Les espaces vectoriels symplectiques servent de modèles pour définir les variétés symplectiques, étudiées en géométrie symplectique.

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Séances de cours associées (38)

Intégration de formes différentielles

Couvre l'intégration de formes différentielles sur des variétés lisses, y compris les concepts de formes fermées et exactes.

Formes différentielles sur les collecteurs

Introduit des formes différentielles sur les collecteurs, couvrant les faisceaux tangents et les appariements d'intersection.

Champs vecteurs de rétractations et faisceaux tangents : faisceaux Tangent MOOC: Introduction à l'optimisation sur des manifolds lisses : méthodes du premier ordre

Couvre les rétractions, les faisceaux tangents et les sous-manifolds intégrés sur les collecteurs avec des preuves et des exemples.

Topologie des surfaces de Riemann

Couvre la topologie des surfaces de Riemann, en se concentrant sur l'orientation et l'orientabilité.

Des collecteurs intégrés aux collecteurs généraux : mise à niveau de nos fondations

Examine la transition entre les multiples intégrés et les multiples généraux, améliore les concepts fondamentaux et discute des raisons mathématiques des deux approches.

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Variété différentielle

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Espace tangent

Submanifold

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