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Séance de cours

Classement des groupes finites abeliens

Description

Cette séance de cours couvre la classification des groupes abeliens finis, présentant Theorem 5.2 qui indique que pour tout groupe abelien fini A de l'ordre n, il existe une séquence unique d'entiers positifs tels que A est isomorphe au produit direct des groupes cycliques. L'instructeur démontre la preuve de ce théorème et discute de Lemmas 5.3 et 5.4, fournissant des informations supplémentaires sur la structure des groupes abeliens.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre générale, Théorie des représentations

Concepts associés (32)

Groupe abélien

En mathématiques, plus précisément en algèbre, un groupe abélien (du nom de Niels Abel), ou groupe commutatif, est un groupe dont la loi de composition interne est commutative. Vu autrement, un groupe commutatif peut aussi être défini comme un module sur l'anneau commutatif des entiers relatifs ; l'étude des groupes abéliens apparaît alors comme un cas particulier de la théorie des modules. On sait classifier de façon simple et explicite les groupes abéliens de type fini à isomorphisme près, et en particulier décrire les groupes abéliens finis.

Groupe abélien de type fini

En mathématiques, un groupe abélien de type fini est un groupe abélien qui possède une partie génératrice finie. Autrement dit : c'est un module de type fini sur l'anneau Z des entiers relatifs. Par conséquent, les produits finis, les quotients, mais aussi les sous-groupes des groupes abéliens de type fini sont eux-mêmes de type fini. Un théorème de structure des groupes abéliens de type fini permet d'expliciter la liste complète de ces groupes à isomorphisme près ; il montre notamment que tout groupe abélien de type fini est un produit fini de groupes monogènes.

Nombres premiers entre eux

vignette|Le segment ne passe par aucun point du réseau (hormis les points à ses extrémités), ce qui montre que 4 et 9 sont premiers entre eux. En mathématiques, on dit que deux entiers a et b sont premiers entre eux, que a est premier avec b ou premier à b ou encore que a et b sont copremiers (ou encore étrangers) si leur plus grand commun diviseur est égal à 1 ; en d'autres termes, s'ils n'ont aucun diviseur autre que 1 et –1 en commun. De manière équivalente, ils sont premiers entre eux s'ils n'ont aucun facteur premier en commun.

Groupe fini

vignette|Un exemple de groupe fini est le groupe des transformations laissant invariant un flocon de neige (par exemple la symétrie par rapport à l'axe horizontal). En mathématiques, un groupe fini est un groupe constitué d'un nombre fini d'éléments. Soit G un groupe. On note en général sa loi multiplicativement et on désigne alors son élément neutre par 1. Toutefois, si G est abélien, la loi est souvent notée additivement et son élément neutre est alors désigné par 0 ; ce n'est cependant pas une règle générale : par exemple, le groupe multiplicatif d'un corps commutatif est noté multiplicativement, bien qu'il soit abélien.

Produit direct

La plupart des structures algébriques permettent de construire de façon très simple une structure produit sur le produit cartésien des ensembles sous-jacents. Plus généralement, . C'est le cas de la topologie produit dans la catégorie des espaces topologiques. Soient E un ensemble muni d'une loi de composition interne et F un ensemble muni d'une loi de composition interne . On peut définir une loi de composition interne sur le produit cartésien E×F de la façon suivante : Si et sont associatives, alors la loi est associative.

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Séances de cours associées (33)

Existence: Preuve du théorème de classification

Couvre la preuve du théorème de classification pour les groupes abeliens finis, démontrant l'existence d'une décomposition en groupes cycliques.

Relation entre la somme directe et Hom

Explore l'isomorphisme entre Hom(A, B) et Hom(A, B) pour tout groupe abelien B.

Existence en Abelian Case and Group Center

Explore l'existence de sous-groupes p-Sylow dans les groupes finis et le centre de groupe abelien.

Symétrie et théorie des groupes

Explore la chiralité, la complétude de groupe, les groupes abéliens, les classes conjuguées et les groupes isomorphes en symétrie et en théorie des groupes.

Travaux de construction à somme directe

Couvre l'existence et l'unicité des sommes directes dans les groupes abeliens.

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Concepts associés (32)

Groupe abélien

Groupe abélien de type fini

Nombres premiers entre eux

Groupe fini

Produit direct

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