Test de convergenceEn mathématiques, les tests de convergence sont des méthodes de test de la convergence, de la convergence absolue ou de la divergence d'une série . Appliqués aux séries entières, ils donnent des moyens de déterminer leur rayon de convergence. Pour que la série converge, il est nécessaire que . Par conséquent, si cette limite est indéfinie ou non nulle, alors la série diverge. La condition n'est pas suffisante, et, si la limite des termes est nulle, on ne peut rien conclure. Toute série absolument convergente converge.
Règle de d'Alembertvignette|Jean Le Rond d'Alembert, mathématicien français. La règle de d'Alembert (ou critère de d'Alembert), doit son nom au mathématicien français Jean le Rond d'Alembert. C'est un test de convergence pour une série à termes positifs. Dans certains cas, elle permet d'établir la convergence absolue d'une série à termes complexes ou vectoriels, ou au contraire sa divergence. Soit (u) une suite de réels strictement positifs. On note et les limites inférieure et supérieure des quotients successifs : Si , alors la série de terme général u converge.
Série (mathématiques)En mathématiques, la notion de série permet de généraliser la notion de somme finie. Étant donné une suite de terme général u, étudier la série de terme général u c'est étudier la suite obtenue en prenant la somme des premiers termes de la suite (u), autrement dit la suite de terme général S défini par : L'étude d'une série peut passer par la recherche d'une écriture simplifiée des sommes finies en jeu et par la recherche éventuelle d'une limite finie quand n tend vers l'infini.
Série convergenteEn mathématiques, une série est dite convergente si la suite de ses sommes partielles a une limite dans l'espace considéré. Dans le cas contraire, elle est dite divergente. Pour des séries numériques, ou à valeurs dans un espace de Banach — c'est-à-dire un espace vectoriel normé complet —, il suffit de prouver la convergence absolue de la série pour montrer sa convergence, ce qui permet de se ramener à une série à termes réels positifs. Pour étudier ces dernières, il existe une large variété de résultats, tous fondés sur le principe de comparaison.
Série géométriquethumb|Preuve sans mots de l'égalité1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ = 1 thumb|Illustration de l'égalité 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ = 1/3 :chacun des carrés violets mesure 1/4 de la surface du grand carré le plus proche (1/2× = 1/4, 1/4×1/4 = 1/16, etc.). Par ailleurs, la somme des aires des carrés violets est égale à un tiers de la superficie du grand carré. En mathématiques, la série géométrique est l'un des exemples de série numérique les plus simples.
Série de Taylorthumb|Brook Taylor, dont la série porte le nom. En mathématiques, et plus précisément en analyse, la série de Taylor au point d'une fonction (réelle ou complexe) indéfiniment dérivable en ce point, appelée aussi le développement en série de Taylor de en , est une série entière approchant la fonction autour de , construite à partir de et de ses dérivées successives en . Elles portent le nom de Brook Taylor, qui les a introduites en 1715.
Rayon de convergenceLe rayon de convergence d'une série entière est le nombre réel positif ou +∞ égal à la borne supérieure de l'ensemble des modules des nombres complexes où la série converge (au sens classique de la convergence simple): Si R est le rayon de convergence d'une série entière, alors la série est absolument convergente sur le disque ouvert D(0, R) de centre 0 et de rayon R. Ce disque est appelé disque de convergence. Cette convergence absolue entraine ce qui est parfois qualifié de convergence inconditionnelle : la valeur de la somme en tout point de ce disque ne dépend pas de l'ordre des termes.
Direct comparison testIn mathematics, the comparison test, sometimes called the direct comparison test to distinguish it from similar related tests (especially the limit comparison test), provides a way of deducing the convergence or divergence of an infinite series or an improper integral. In both cases, the test works by comparing the given series or integral to one whose convergence properties are known.
Série entièreEn mathématiques et particulièrement en analyse, une série entière est une série de fonctions de la forme où les coefficients a forment une suite réelle ou complexe. Une explication de ce terme est qu'. Les séries entières possèdent des propriétés de convergence remarquables, qui s'expriment pour la plupart à l'aide de son rayon de convergence R, grandeur associée à la série. Sur le disque de convergence (disque ouvert de centre 0 et de rayon R), la fonction somme de la série peut être dérivée indéfiniment terme à terme.
Règle de Cauchyvignette|Diagramme de décision pour l'application de la règle de Cauchy En mathématiques, la règle de Cauchy, qui doit son nom au mathématicien français Augustin Cauchy, est un critère de convergence pour une série à termes réels ou complexes, ou plus généralement à termes dans un espace vectoriel normé. Cette règle est parfois confondue avec le « critère de Cauchy » selon lequel, dans un espace complet comme R ou C, toute suite de Cauchy converge.
Limit comparison testIn mathematics, the limit comparison test (LCT) (in contrast with the related direct comparison test) is a method of testing for the convergence of an infinite series. Suppose that we have two series and with for all . Then if with , then either both series converge or both series diverge. Because we know that for every there is a positive integer such that for all we have that , or equivalently As we can choose to be sufficiently small such that is positive. So and by the direct comparison test, if converges then so does .
Alternating series testIn mathematical analysis, the alternating series test is the method used to show that an alternating series is convergent when its terms (1) decrease in absolute value, and (2) approach zero in the limit. The test was used by Gottfried Leibniz and is sometimes known as Leibniz's test, Leibniz's rule, or the Leibniz criterion. The test is only sufficient, not necessary, so some convergent alternating series may fail the first part of the test. A series of the form where either all an are positive or all an are negative, is called an alternating series.
Série alternéeEn mathématiques, et plus particulièrement en analyse, une série alternée est un cas particulier de série à termes réels, dont la forme particulière permet d'avoir des résultats de convergence notables. Une série à termes réels est dite alternée si ses termes sont de signes alternés, c'est-à-dire si elle est de la forme : avec ai des nombres réels positifs. Le principal critère de convergence concernant les séries alternées permet de montrer que certaines séries alternées non absolument convergentes sont convergentes, notamment la série harmonique alternée.
Abel's testIn mathematics, Abel's test (also known as Abel's criterion) is a method of testing for the convergence of an infinite series. The test is named after mathematician Niels Henrik Abel. There are two slightly different versions of Abel's test – one is used with series of real numbers, and the other is used with power series in complex analysis. Abel's uniform convergence test is a criterion for the uniform convergence of a series of functions dependent on parameters.
Convergence uniformeLa convergence uniforme d'une suite de fonctions est une forme de convergence plus exigeante que la convergence simple. La convergence devient uniforme quand toutes les suites avancent vers leur limite respective avec une sorte de « mouvement d'ensemble ». Dans le cas de fonctions numériques d'une variable, la notion prend une forme d'« évidence » géométrique : le graphe de la fonction f se « rapproche » de celui de la limite. Soient X un ensemble, (Y, d) un espace métrique, et A un sous-ensemble de X.
Madhava seriesIn mathematics, a Madhava series is one of the three Taylor series expansions for the sine, cosine, and arctangent functions discovered in 14th or 15th century Kerala by the mathematician and astronomer Madhava of Sangamagrama (c. 1350 – c. 1425) or his followers in the Kerala school of astronomy and mathematics. Using modern notation, these series are: All three series were later independently discovered in 17th century Europe.
Convergence simpleEn mathématiques, la convergence simple ou ponctuelle est une notion de convergence dans un espace fonctionnel, c’est-à-dire dans un ensemble de fonctions entre deux espaces topologiques. C'est une définition peu exigeante : elle est plus facile à établir que d'autres formes de convergence, notamment la convergence uniforme. Le passage à la limite possède donc moins de propriétés : une suite de fonctions continues peut ainsi converger simplement vers une fonction qui ne l'est pas.
Convergence absolueEn mathématiques, une série numérique réelle ou complexe converge absolument si, par définition, la série des valeurs absolues (ou des modules) est convergente. Cette définition peut être étendue aux séries à valeurs dans un espace vectoriel normé et complet, soit un espace de Banach. Dans tous ces contextes, cette condition est suffisante pour assurer la convergence de la série elle-même. Par analogie, l'intégrale d'une fonction à valeurs réelles ou complexes converge absolument si, par définition, l'intégrale de la valeur absolue (ou du module) de la fonction est convergente (fonction dans L1).
CrimeLe crime désigne la catégorie des infractions les plus graves, catégorie plus ou moins vaste suivant les pays et systèmes juridiques. Le terme provient du latin crimen, qui signifie en latin classique « l’accusation » ou le « chef d’accusation » puis, en bas latin, « faute » ou « souillure ». thumb|Le hors-la-loi canadien Donald Morrison tue le constable spécial Jack Warren en 1888 (gravure publiée en 1892). En anglais courant, le mot « crime » est un faux-ami ; il désigne toutes les infractions à la loi en général, même les plus mineures.
Série harmonique (musique)En acoustique musicale et en psychoacoustique, une série harmonique est la série des partiels harmoniques qui composent un son périodique complexe. Les instruments de musique à hauteur déterminée (par opposition aux instruments à hauteur indéterminée) sont souvent basés sur un résonateur acoustique tel qu'une corde ou une colonne d'air, qui oscille dans de nombreux modes propres simultanément. Aux fréquences de chaque mode de vibration, des ondes se propagent dans les deux sens le long de la corde ou de la colonne d'air, se renforçant et s'annulant mutuellement pour former des ondes stationnaires.
