Règle de Cauchy

vignette|Diagramme de décision pour l'application de la règle de Cauchy En mathématiques, la règle de Cauchy, qui doit son nom au mathématicien français Augustin Cauchy, est un critère de convergence pour une série à termes réels ou complexes, ou plus généralement à termes dans un espace vectoriel normé. Cette règle est parfois confondue avec le « critère de Cauchy » selon lequel, dans un espace complet comme R ou C, toute suite de Cauchy converge. La règle de Cauchy donne un critère de convergence pour une série de terme général x dans un espace vectoriel normé, en fonction de la limite supérieure La série est : absolument convergente si p < 1, donc convergente si l'espace est de Banach c'est-à-dire complet ; grossièrement divergente si p > 1, c'est-à-dire que la suite (x) ne tend même pas vers 0. Si p = 1, il y a indécidabilité à défaut d'informations supplémentaires. La règle s'applique en particulier pour des séries dans R (où la norme est la valeur absolue) ou dans C (où la norme est le module) ou même dans Rn ou Cn, complets pour n'importe quelle norme. La série harmonique qui diverge et la série harmonique alternée qui converge vers ln(2) sont deux exemples pour lesquels la limite des ║x║ — et pas seulement la limite supérieure — vaut 1, car (1/n)ln(1/n) tend vers 0. On montre encore que les réciproques des deux premières propriétés sont fausses : la série de Dirichlet de terme général x = n est absolument convergente vers ζ(2) alors que pour elle, la limite vaut 1 ; la série de terme général x = (–1) diverge grossièrement alors que pour elle, la limite vaut aussi 1. Ce critère de convergence est très proche de celui de d'Alembert, qui spécifie dans sa forme la plus précise que la série de terme général x : converge absolument dès que lim sup (║x║/║x║) < 1 ; diverge grossièrement dès que lim inf (║x║/║x║) > 1. La règle de Cauchy lui est légèrement supérieure de deux points de vue : stricto sensu, le critère de d'Alembert ne s'applique qu'à une série sans terme nul.