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Programmation intégrale : le théorème de Doignon

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Dans cours

MATH-504: Integer optimisation

The course aims to introduce the basic concepts and results of integer optimization with special emphasis on algorithmic problems on lattices that have proved to be important in theoretical computer science and cryptography during the past 30 years. ...

Description

Cette séance de cours traite du théorème de Doignon en programmation entière, qui stipule qu'un ensemble est minimalement irréalisable si la suppression de toute contrainte le rend possible. Le théorème, introduit par Doignon en 1973, est expliqué avec une notation mathématique et une preuve. La séance de cours couvre également le concept de coque convexe et les conditions pour qu'un ensemble soit considéré comme irréalisable.

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Concepts associés (18)

Enveloppe convexe

L'enveloppe convexe d'un objet ou d'un regroupement d'objets géométriques est l'ensemble convexe le plus petit parmi ceux qui le contiennent. Dans un plan, l'enveloppe convexe peut être comparée à la région limitée par un élastique qui englobe tous les points qu'on relâche jusqu'à ce qu'il se contracte au maximum. L'idée serait la même dans l'espace avec un ballon qui se dégonflerait jusqu'à être en contact avec tous les points qui sont à la surface de l'enveloppe convexe.

Optimisation linéaire en nombres entiers

L'optimisation linéaire en nombres entiers (OLNE) (ou programmation linéaire en nombres entiers (PLNE) ou integer programming (IP) ou Integer Linear Programming (ILP)) est un domaine des mathématiques et de l'informatique théorique dans lequel on considère des problèmes d'optimisation d'une forme particulière. Ces problèmes sont décrits par une fonction de coût et des contraintes linéaires, et par des variables entières.

Ensemble convexe

Un objet géométrique est dit convexe lorsque, chaque fois qu'on y prend deux points et , le segment qui les joint y est entièrement contenu. Ainsi un cube plein, un disque ou une boule sont convexes, mais un objet creux ou bosselé ne l'est pas. On suppose travailler dans un contexte où le segment reliant deux points quelconques et a un sens (par exemple dans un espace affine sur R — en particulier dans un espace affine sur C — ou dans un ).

Théorème de Carathéodory (géométrie)

vignette|Par exemple le point (1/4, 1/4) de l'enveloppe convexe des points (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1) se trouve dans l'intérieur du triangle (0, 0), (1, 0), (0, 1). Le théorème de Carathéodory est un théorème de géométrie relatif aux enveloppes convexes dans le contexte des espaces affines de dimension finie. Dans le plan, il affirme que tout point dans l'enveloppe convexe d'un ensemble de points est dans l'intérieur d'un triangle dont les sommets sont dans (l'enveloppe convexe d'un ensemble de points est l'ensemble des barycentres de trois points de ).

Optimisation linéaire

thumb|upright=0.5|Optimisation linéaire dans un espace à deux dimensions (x1, x2). La fonction-coût fc est représentée par les lignes de niveau bleues à gauche et par le plan bleu à droite. L'ensemble admissible E est le pentagone vert. En optimisation mathématique, un problème d'optimisation linéaire demande de minimiser une fonction linéaire sur un polyèdre convexe. La fonction que l'on minimise ainsi que les contraintes sont décrites par des fonctions linéaires, d'où le nom donné à ces problèmes.

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Séances de cours associées (64)

Bases de la programmation linéaire

Introduit les bases de la programmation linéaire, y compris les problèmes d'optimisation, les fonctions de coût, l'algorithme simplex, la géométrie des programmes linéaires, les points extrêmes et la dégénérescence.

Techniques d'optimisation : Convexity in Machine Learning

Couvre les techniques d'optimisation dans l'apprentissage automatique, en se concentrant sur la convexité et ses implications pour une résolution efficace des problèmes.

Coquillages convexes : complexité et sommets

Explore la complexité des coques convexes et le concept de sommets en leur sein.

Modélisation du système énergétique : indicateurs d’optimisation et de performance

Explore la modélisation des systèmes énergétiques à l'aide de techniques d'optimisation et d'indicateurs de performance.

Transport optimal : théorème de Rockafellar

Explore le théorème de Rockafellar dans un transport optimal, en se concentrant sur la monotonicité c-cyclique et les fonctions convexes.

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Optimisation linéaire en nombres entiers

Ensemble convexe

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